mi band

Границя функціі

 10. Неперервність функції в точці і на відрізку. Точки розриву.

Теоретичні питання:

1. Означення функції.

2. Неперервність функції.

3. Означення розривів 1-го та 2-го роду.

1.Дослідити функцію на неперервність, встановлюючи характер точок розриву, та побудувати її графік.

  Границя функціі

Розв’язання.  Функція задана різними формулами на різних проміжках. На кожному з проміжків Границя функціі; Границя функціі вона як елементарна — неперервна. Отже розрив може бути лише в точках Границя функціі та  Границя функціі.

Границя функціі

Знайдемо односторонні границі функції в цій точці:

Границя функціі, Границя функцііГраниця функціі

Отже, односторонні границі функції в цій точці існують, рівні між собою та дорівнюють значенню функції в цій точці, звідки випливає, що функція — неперервна в точці Границя функціі.

Границя функціі

Знайдемо односторонні границі функції в цій точці :

Границя функцііГраниця функціі.

Отже, односторонні границі функції в цій точці існують, але не рівні між собою, таким чином, функція Границя функціі розривна в точці  Границя функціі, яка є точкою розриву 1- го роду.

Побудуємо графік функції

2. Дослідити на неперервність функції у точках Границя функціі та побудувати їх графіки (Схематично).

  Границя функціі

  Розв’язання.  Границя функціі

Границя функціі; Границя функціі, отже, функція Границя функціі є неперервною в точці Границя функціі.

  Границя функціі У самій точці Границя функціі функція, по-перше, не визначена, а по-друге  Границя функціі. Згідно з класифікацією розривів, точка Границя функціі є точкою розриву 2-го роду.

  Побудуємо графік функції

mi band