Визначений інтеграл

3. Визначений інтеграл. Обчислення визначеного інтеграла.

Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії, до економічних розрахунків.

План:

1. Визначений інтеграл.

2. Обчислення визначеного інтеграла.

3. Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії, до економічних розрахунків.

§1. Задача про площу криволінійної трапеції. Означення визначеного інтеграла

Визначений інтегралДо поняття визначеного інтеграла приводять багато задач геометрії, фізики, природознавства, економіки, тощо.

Означення. Нехай функція Визначений інтеграл неперервна і невід’ємна на відрізку [a; b]. Фігура, обмежена графіком цієї функції, відрізком [a; b] і прямими Визначений інтеграл, називається криволінійною трапецією.

Поняття криволінійної трапеції узагальнює поняття прямолінійної трапеції. Відрізки aA, bB можуть вироджуватися в точки. Рисунки показують, що багато фігур шкільного курсу геометрії є криволінійними трапеціями або їх комбінаціями.

Визначений інтеграл

Дамо означення нашому інтуїтивному уявленню про площу криволінійної трапеції. Для цього точками

Визначений інтеграл

Розіб’ємо довільно відрізок [a; b] на відрізки Визначений інтеграл. На кожному відрізку розбиття довільно візьмемо по одній точці: Визначений інтегралВизначений інтегралІ побудуємо прямокутники з основою Визначений інтеграл і висотою Визначений інтеграл. Смугу криволінійної трапеції з основою Визначений інтеграл замінимо прямокутником з такою ж основою і висотою Визначений інтегралВизначений інтеграл. В результаті отримаємо ступінчасту фігуру, складену з прямокутників. Очевидно, що чим менші відрізки (T) — розбиття, тим більше ступінчаста фігура наближається до криволінійної трапеції.

Число Визначений інтеграл, де Визначений інтеграл дає площу ступінчастої фігури, і його природно вважати наближеним значенням площі криволінійної трапеції. А за площу криволінійної трапеції природно прийняти границю чисел S(T), коли Визначений інтеграл:

   Визначений інтеграл  (1)

Визначений інтегралВ курсі матичного аналізу доводиться, що для неперервної функції Визначений інтеграл границя (1) завжди існує. До обчислення границь типу (1) приводить багато інших задач, наприклад, обчислення шляху прямолінійного руху за відомою швидкістю V(t) протягом часу від моменту Визначений інтеграл до Визначений інтеграл:

Визначений інтеграл.

Тому границі виду (1) вивчають спеціально. Абстрагуючись від  конкретного  змісту  функції  Визначений інтеграл,  приходимо  до такого означення.

Означення. Нехай функція Визначений інтеграл задана на відрізку [a; b]. Точками Визначений інтеграл довільно розіб’ємо відрізок [a;b] на частини Визначений інтеграл. Позначимо Визначений інтегралВизначений інтеграл. На кожномувідрізку Визначений інтеграл довільно візьмемо по одній точці Визначений інтеграл і утворимо суму Визначений інтеграл

Якщо при Визначений інтеграл існує границя сум S(T), яка не залежить від способу розбиття (T) і вибору точок Визначений інтеграл, то цю границю називають визначеним інтегралом функції Визначений інтеграл на відрізку [a; b] і позначають символом Визначений інтеграл.

Таким чином,    Визначений інтеграл.  (2)

Запис (2) на мові Визначений інтеграл означає, що для довільного числа Визначений інтеграл існує число Визначений інтеграл таке, що для всіх (T) — розбиттів відрізка [a; b], у яких Визначений інтеграл і для довільного вибору точок Визначений інтеграл виконується нерівність

  Визначений інтеграл  (3)

Суми S(T) називають інтегральними сумами функції Визначений інтеграл, складеними для заданого (T) — розбиття відрізка [a; b] і взятого набору точок Визначений інтеграл.

Із означень визначеного інтеграла і площі криволінійної трапеції випливає, що площа криволінійної трапеції виражається формулою

Визначений інтеграл  (4)

В цьому полягає  геометричний зміст визначеного інтеграла.

Аналогічно, довжина шляху прямолінійного руху обчислюється за формулою

Визначений інтеграл  (5)

Рівність (5) виражає  механічний зміст визначеного інтеграла.

Визначений інтеграл називають також інтегралом Рімана (Г. Ріман (1826 — 1866) – німецький матик).

Має місце наступна теорема про існування визначеного  інтеграла.

Теорема. Якщо функція Визначений інтеграл неперервна на відрізку [a; b], то її визначений інтеграл існує.

§2. Властивості визначеного інтеграла

Теорема. Якщо функції Визначений інтеграл інтегровні за Ріманом на відрізку [a; b], то мають місце такі властивості:

Визначений інтеграл1º. Визначений інтеграл, де c — довільне дійсне число.

2º. Визначений інтеграл.

3º. Визначений інтеграл,  для довільного Визначений інтеграл.

4º. Якщо Визначений інтеграл для довільного дійсного числа Визначений інтеграл, то Визначений інтеграл.

Зауважимо, що у властивості 1º на число c не накладається обмеження Визначений інтеграл, як у невизначеному інтегралі, оскільки визначений інтеграл є число.

 Властивість 4º означає, що нерівності можна інтегрувати. Аналогічної властивості для похідної немає. Так, з правильної нерівності Визначений інтеграл для довільного числа Визначений інтеграл не випливає, що Визначений інтеграл, оскільки Визначений інтеграл, а Визначений інтеграл на інтервалі Визначений інтеграл.

Визначений інтегралЗа означенням вважають, що Визначений інтеграл для довільної функції і Визначений інтеграл, якщо a>b.

Теорема. Якщо функція Визначений інтеграл неперервна на відрізку [a; b], то існує точка Визначений інтеграл така, що Визначений інтеграл.

Цю теорему приймемо без доведення. Її називають  теоремою про середнє значення функції, оскільки число Визначений інтеграл за означенням, називають  середнім значенням функції Визначений інтеграл на відрізку [a; b].

 Геометрично теорема у випадку невід’ємної функції Визначений інтеграл означає, що існує прямокутник з основою [a; b] і висотою f(c), площа якого дорівнює площі криволінійної трапеції.

§3. Обчислення визначеного інтеграла

3.1. Обчислення визначеного інтеграла за означенням

За означенням можна обчислювати найпростіші визначені інтеграли. Наприклад,

Визначений інтеграл,

Оскільки Визначений інтеграл є довжиною відрізка [a; b].

3.2. Формула Ньютона – Лейбніца

Теорема. Якщо функція Визначений інтеграл неперервна на відрізку  [a; b], то

Визначений інтеграл,  (6)

Де F(x) — одна з первісних функції Визначений інтеграл.

Формула (6) називається формулою Ньютона — Лейбніца.

За формулою (6) обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження первісної для підінтегральної функції. Проте нею слід користуватися обережно, спочатку переконавшись у неперервності функції Визначений інтеграл. Формальне застосування формули (6) може привести до помилок.

Так, для інтеграла Визначений інтеграл первісна підінтегральної функції дорівнює Визначений інтеграл і Визначений інтеграл, що суперечить властивості, оскільки Визначений інтеграл і Визначений інтеграл.

У наведеному “обчисленні”  Визначений інтеграл допущені дві помилки:

1) даний інтеграл не існує,  оскільки  підінтегральна функція необмежена на відрізку [-1; 1];

2) підінтегральна функція розривна в точці Визначений інтеграл, алеВизначений інтеграл і тому формулу (6) застосовувати не можна, оскільки не виконані умови теореми.

Різницю Визначений інтеграл коротше позначають так Визначений інтеграл.

Приклад. Обчислити Визначений інтеграл.

Розв’язання. Використовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, маємо:

    Визначений інтеграл.

3.3. Обчислення визначеного інтеграла частинами

Теорема. Якщо функції U=U(x)і V=V(x) неперервні на відрізку [a; b] разом із своїми похідними U'(x) і V'(x), то справедлива формула

  Визначений інтеграл  (7)

Приклад 5.2. Обчислити Визначений інтеграл.

Розв’язання. За формулою (7) маємо:

Визначений інтегралВизначений інтеграл

3.4. Обчислення визначеного інтеграла підстановкою

Теорема. Нехай функція Визначений інтеграл неперервна на відрізку [a; b], функція Визначений інтеграл неперервна разом з похідною Визначений інтеграл на відрізку Визначений інтеграл, причому Визначений інтеграл, коли Визначений інтеграл. Тоді

    Визначений інтеграл  (8)

Зауважимо, що у формулі (8) не обов’язково повертатися до змінної x як це було у невизначеному інтегралі.

Приклад. Обчислити площу круга радіуса R.

Розв’язання.  Оскільки круг Визначений інтеграл симетричний відносно осей Ox і Oy, то досить обчислити площу чверті круга у першому квадранті. Маємо

Визначений інтеграл.

Для обчислення цього інтеграла використаємо підстановку Визначений інтеграл. Тоді Визначений інтеграл при Визначений інтеграл при Визначений інтеграл та

Визначений інтеграл

Оскільки Визначений інтеграл на відрізку Визначений інтеграл. Тоді

Визначений інтегралВизначений інтеграл

§4. Геометричні застосування визначеного інтеграла

4.1. Обчислення площ плоских фігур у декартових  координатах

Визначений інтегралНехай плоска фігура D обмежена лініями Визначений інтегралВизначений інтеграл, Визначений інтеграл, де функції Визначений інтеграл і Визначений інтеграл — неперервні на відрізку [a; b], причому Визначений інтеграл для кожного Визначений інтеграл. тоді площу S цієї фігури можна обчислити за формулою

Визначений інтеграл.  (9)

Формула (9) очевидна для фігури D, розміщеної у верхній півплощині, оскільки в цьому випадку вона є різницею двох криволінійних трапецій. Можна показати, що вона справедлива і в загальному випадку. Якщо Визначений інтеграл, то з формули (9) випливає формула для площі криволінійної трапеції.

Визначений інтегралПриклад. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями Визначений інтеграл та Визначений інтеграл.

  Розв’язання. Розв’язуємо систему рівнянь Визначений інтеграл і знаходимо, що дані криві перетинаються в точках Визначений інтегралВизначений інтегралВизначений інтеграл. Фігура D симетрична відносно початку координат, оскільки функції Визначений інтегралТа Визначений інтегралНепарні на відрізку Визначений інтеграл. Тому за формулою (9) маємо

Визначений інтеграл.

4.2. Обчислення об’ємів тіл за відомими площами паралельних перерізів

Нехай тіло (T) таке, що відомі площі S(x) його паралельних перерізів, причому функція S(x) неперервна на відрізку [a; b].

Визначений інтегралТоді його об’єм V(T) можна обчислити за формулою

Визначений інтеграл.  (10)

Формулу (10) приймаємо без доведення. Якщо тіло (T) є тіло обертання навколо осі OX, то з формули (10) випливає, що

Визначений інтеграл,     (11)

Оскільки  в цьому випадку Визначений інтеграл, де f(x) — функція, що задає криву y=f(x), Визначений інтеграл, від обертання якої навколо осі OX утворюється тіло обертання.

Приклад. Обчислити об’єм тіла, обмеженого еліпсоїдом Визначений інтеграл.

Розв’язання. Використаємо рівняння еліпсоїда Визначений інтеграл. Перетином еліпсоїда з площиною Визначений інтеграл, де Визначений інтеграл є еліпс Визначений інтеграл, площа Визначений інтеграл якого дорівнює Визначений інтеграл, де Визначений інтеграл, Визначений інтеграл, тобто Визначений інтеграл. отже, для довільного числа x, де Визначений інтеграл, одержимо:

Визначений інтеграл

Тоді  Визначений інтегралВизначений інтеграл.

При a=b=c маємо рівняння сфери, і тому об’єм кулі Визначений інтеграл.

Tagged with:
Posted in Вища математика 3к.1с
Перелік предметів:
  1. Інформаційні технологіі в галузі
  2. Інформаційні технологіі в системах якості стандартизаціісертифікаціі
  3. Історія української культури
  4. Бухоблік у ресторанному господарстві
  5. Діловодство
  6. Мікропроцесорні системи управління технологічними процесами
  7. Науково-практичні основи технологіі молока і молочних продуктів
  8. Науково-практичні основи технологіі м’яса і м’ясних продуктів
  9. Організація обслуговування у підприємствах ресторанного господарства
  10. Основи наукових досліджень та технічноі творчості
  11. Основи охорони праці
  12. Основи підприємницькоі діяльності та агробізнесу
  13. Політологія
  14. Технологічне обладнання для молочноі промисловості
  15. Технологічне обладнання для м’ясноі промисловості
  16. Технологічний семінар
  17. Технологія зберігання консервування та переробки молока
  18. Технологія зберігання консервування та переробки м’яса
  19. Технологія продукціі підприємств ресторанного господарства
  20. Технохімічний контроль
  21. Технохімічний контроль
  22. Управління якістю продукціі ресторанного господарства
  23. Вища математика 3к.1с
  24. Вступ до фаху 4к.2с.
  25. Загальні технології харчових виробництв
  26. Загальна технологія харчових виробництв 4к.2с.
  27. Мікробіологія молока і молочних продуктів 3к.1с
  28. Математичні моделі в розрахунках на еом
  29. Методи контролю харчових виробництв
  30. Основи фізіології та гігієни харчування 3к.1с
  31. Отримання доброякісного молока 3к.1с
  32. Прикладна механіка
  33. Прикладна механіка 4к.2с.
  34. Теоретичні основи технології харчових виробництв
  35. Технологія зберігання, консервування та переробки м’яса
  36. Фізика
  37. Харчові та дієтичні добавки
  38. Фізичне виховання 3к.1с

На русском

  1. Методы контроля пищевых производств
  2. Общая технология пищевых производств
  3. Теоретические основы технологий пищевых производств
  4. Технология хранения, консервирования и переработки мяса
LiveInternet