Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

ПРИКЛАДИ РОЗВЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ

ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ

З ВИЩОЇ МАТИКИ

(I Семестр)

Задача № 1.

Задані дві матриці А і В.

Знайти: А) добуток матриць АВ;

Б) визначник матриці А.

à)   А= Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів;  B=Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів .

Розв’язування.

Добуток матриць АВ можливий у випадку, коли число стовпчиків матриці А дорівнює числу рядків матриці В. Елементи матриці С=АВ обчислюються за формулою:

Сij=ai1×b1j + ai2×b2j + … + aik×bkj

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Б) Обчислимо визначник матриці А detA =D= Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівЗа формулою

DetA=Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів де Аij=(-1)i + jMij,

Mij  — додатковий мінор елемента  aij  матриці А. Перш, ніж розкладати визначник по елементах третього рядка або четвертого стовпчика, де найбільше нулів, утворимо методом лінійних перетворень ще один нуль. Для цього перший стовпчик додамо до другого в результаті отримаємо:

D= Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів=(-1)· (-1)3+1  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Одержаний визначник третього порядку можна обчислити за правилом трикутника, або зведенням його до визначника другого порядку, віднявши від першого рядка другий:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Задача № 2. Дану систему лінійних рівнянь: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Розв’язати трьома способами:

1) за формулами Крамера;

2) методом Гаусса або Жордана-Гаусса;

3) матричним методом.

Результат перевірити.

Задача № 1. Дану систему лінійних рівнянь: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів розв’язати трьома способами:

1) за формулами Крамера;  2) методом Гаусса або Жордана-Гаусса; 3) Матричним методом.

Результат перевірити.

Розв’язання.

1) Обчислимо основний визначник системи лінійних рівнянь ∆, та визначники ∆x, ∆y, ∆z, які отримуються з основного визначника заміною відповідно, першого, другого або третього стовпчика, стовпчиком вільних членів :

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Тоді за формулами Крамера обчислимо:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Перевірка. Знайдені значення Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів підставимо в систему:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Оскільки отримали вірні числові рівності, то робимо висновок, що сис розв’язана правильно.

Відповідь: сис має один розв’язок: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

2) Розв’язуючи систему методом Гауса (методом виключення невідомих) з першого рівняння знайдемо Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів і підставимо його в друге і третє рівняння:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Цей результат можна отримати й інакше: помножити перше рівняння системи на число Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, а потім на Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, і додати відповідно до другого, а потім до третього, рівнянь системи.

Після цього помножимо друге рівняння останньої системи на Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів і результат додамо до третього рівняння:Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

З останньої системи послідовно знаходимо:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, тобто отримали той же результат.

Випишемо розширену матрицю системи і шляхом елементарних перетворень рядків матриці зведемо її до діагонального вигляду:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів  ~  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів ~  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів~

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

 

~ Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів ~ Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів   ~ Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів ~

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

 

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів~ Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів  ~ Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів   ~ Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

З останньої матриці Жордана-Гауса безпосередньо запишемо розв’язок системи:  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

3) Розв’язуючи систему матричним, випишемо матриці:

А= Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів; Х=Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів; В=Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. запиемо матричне рівняння AX=B, звідси X=A-1B

Тепер потрібно знайти обернену матрицю А-1, але спочатку знайдемо визначник матриці А:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,  далі будемо знаходити алгебраїчні доповнення елементів:

А11=Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів=-11; А12=-Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів=7; А13=Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів=5; А21=-Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів=6; А22=Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів=-2; А23=-Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів=-10;

А31=Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів=-7; А32=-Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів=-1; А33=Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів=5. запишемо обернену матрицю

А-1=Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Тепер знайдемо матрицю Х:

Х=Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Тобто x=0, y=-1, z=2

Задача № 3.  Задані координати точок A, B, C, P, Q: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Знайти:

1)  довжини сторін ∆ ABC;

2)  внутрішні кути ∆ ABC в градусах;

3)  площу ∆ ABC;

4)  довжину висоти, опущеної з вершини A на сторону BC;

5)  центр мас  ∆ ABC;

6)  рівняння площини, в якій лежить ∆ ABC;

7)  рівняння прямої PQ, та точку перетину прямої PQ з площиною ∆ ABC;

8)  віддалі точок P і Q від площини ∆ ABC;

9)  об’єм піраміди PABC.

Розв’язання.

1) Для знаходження довжин сторін ∆ ABC використаємо формулу віддалі між двома точками Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів і Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Оскільки Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, то ∆ ABC – гострокутний.

2) Для знаходження внутрішніх кутів ∆ ABC використаємо формулу: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Оскільки Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, то ∆ ABC – рівнобедрений, тому досить знайти кут Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, тобто кут між векторами Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів і Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Для цього запишемо вектори Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів і Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів в системі орт Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Тоді Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, звідки за таблицями В. М.Брадіса знаходимо, що

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

3) Для знаходження площі ∆ ABC використаємо формулу: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Обчислимо векторний добуток Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Цей же результат можна отримати й іншим способом, за формулою:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів;

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

4) Для знаходження довжини висоти Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, опущеної з вершини Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів на сторону Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів використаємо формулу площі трикутника: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів;

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів5) Центр мас ∆ ABC лежить на перетині його медіан Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Запишемо рівняння прямих Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Знайдемо точку Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів перетину прямих Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів і  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Для цього розв’яжемо систему:  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів .

Перейдемо до параметричних рівнянь цих прямих:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів (з другого рівняння),

Тоді з першого рівняння Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Як і з другого  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Таким чином координати шуканої точки  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Переконаємось, що знайдена точка Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів лежить на третій прямій Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Відношенню Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів можна приписати будь-яке значення, зокрема й Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Отже точка Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів лежить на прямій Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів і  є центром мас ∆ ABC.

6) Для запису рівняння площини, в якій лежить ∆ ABC, використаємо рівняння площини, що проходить через три точки Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

У нас такими точками будуть Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,    Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Переконаємося, що точка  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів лежить у площині  ∆ ABC:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Цей факт підтверджує, що рівняння площини  ∆ ABC знайдено вірно.

7) Рівняння прямої Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів запишемо, використавши рівняння прямої, що проходить через дві точки Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів і Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Для знаходження точки перетину прямої Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів з площиною ∆ ABC  розв’яжемо систему: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Запишемо параметричні рівняння прямої Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів  і підставимо їх у рівняння площини:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Таким чином, точка Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів перетину прямої Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів з площиною ∆ ABC  має координати Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Перевіримо цей факт:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Бачимо, що координати точки Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів задовольняють рівняння площини

∆ ABC  і рівняння прямої Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів , тобто, справді, це точка їх перетину.

8) Для знаходження віддалей точок Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів від площини ∆ ABC використаємо формулу віддалі точки Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів від площини Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Для точки Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів маємо : Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Для точки Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів маємо : Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

9) Для обчислення об’єму піраміди  PABC використаємо формулу:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, де  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, тому

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Цей же результат отримаємо, використавши формулу Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Маємо Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

  Задача № 4.  Знайти границі функцій, не користуючись правилом Лопіталя: 

  а)  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів;  б)  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів;  в) Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Розв’язання. А) Маємо невизначеність вигляду  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Перетворимо дану функцію, розклавши чисельник та знаменник на множники :  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів    Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Тоді,  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Б)  Маємо невизначеність вигляду Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Перетворимо дану функцію, розділивши чисельник та знаменник на Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

В) Знову маємо невизначеність вигляду Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. У цьому випадку  необхідно чисельник та знаменник дробу помножити на вираз, спряжений чисельнику.

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Задача № 5.  Знайти границі функцій, застосовуючи чудові границі.

  а)  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів;    Б)  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Розв’язання.  А) Безпосередня підстановка Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів приводить до невизначеності  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, чисельник дробу містить тригонометричну функцію, тому для розкриття невизначеності застосовуємо 1-шу важливу границю, а саме :

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Щоб можна було застосувати 1-шу важливу границю, помножимо чисельник та знаменник дробу на 5, тоді отримаємо:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Враховуючи, що Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів=1, отримаємо:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Б)  В цьому випадку маємо невизначеність  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Для розкриття цієї невизначеності  використовуємо 2-гу важливу границю, а саме виконаємо наступні тотожні перетворення:  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Введемо позначення: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,  якщо  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, тоді  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Таким чином, маємо:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Враховуючи, що Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів та  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, отримаємо:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

  Задача № 6.  Дослідити функцію на неперервність, встановлюючи характер точок розриву, та побудувати її графік.

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Розв’язання.  Функція задана різними формулами на різних проміжках. На кожному з проміжків Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів; Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів вона як елементарна — неперервна. Отже розрив може бути лише в точках Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів та  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Знайдемо односторонні границі функції в цій точці:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Отже, односторонні границі функції в цій точці існують, рівні між собою та дорівнюють значенню функції в цій точці, звідки випливає, що функція — неперервна в точці Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Знайдемо односторонні границі функції в цій точці :

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Отже, односторонні границі функції в цій точці існують, але не рівні між собою, таким чином, функція Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів розривна в точці  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, яка є точкою розриву 1- го роду.

Побудуємо графік функції

Задача № 7.  Дослідити на неперервність функції у точках Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів та побудувати їх графіки (Схематично).

  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Розв’язання.  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів; Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, отже, функція Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів є неперервною в точці Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів У самій точці Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів функція, по-перше, не визначена, а по-друге  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Згідно з класифікацією розривів, точка Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів є точкою розриву 2-го роду.

Побудуємо графік функції

Задача № 8.  Знайти похідні функцій

  а) Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів;  б) Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів;  в)  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Розв’язання.  А) Подамо функцію  у вигляді: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Користуючись правилом обчислення похідної суми, а також формулою диференціювання  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, отримаємо

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Б) Використовуючи правило обчислення похідної добутку: (Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів) та формулу  диференціювання складної функції, отримаємо:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

В)  Користуючись формулою диференціювання складної функції, маємо

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

  Задача № 9.  Дослідити функцію методами диференціального числення та побудувати її графік.

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Розв’язання.

1) Функція задана формулою, в якій вираз справа має зміст для всіх Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, тому Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

2) Оскільки область існування Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів не симетрична відносно нуля, то дана функція є функцією загального виду.

3) Дана функція неперервна в своїй області існування, як частка двох неперервних функцій Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Оскільки при Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів вона не визначена, то точка  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів є її точкою розриву. Для встановлення характеру розриву обчислимо границі функції в точці Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів зліва і справа: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Звідси випливає, що точка Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів є точкою розриву функції другого роду, а пряма Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів є вертикальною асимптотою її графіка.

4) Для знаходження проміжків монотонності функції обчислимо її похідну:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Звідки знаходимо  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Функція зростає на інтервалі Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, якщо  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, і спадає, якщо  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Розв’яжемо нерівності Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів і  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів методом інтервалів.

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

 

Бачимо, що на інтервалі Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів похідна додатна, отже функція на цьому інтервалі зростає, на інтервалах  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів і  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів похідна від’ємна, тому функція на кожному з цих інтервалів спадає, на інтервалі Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів похідна знову додатна, а тому функція на цьому інтервалі зростає.

Одночасно визначилися і точки екстремуму: в точці Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів функція має максимум, а в точці Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів вона має мінімум, причому Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

5) Для знаходження проміжків угнутості та опуклості графіка функції обчислимо другу похідну:  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Бачимо, що Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, тому точок перегину графіка функції немає. Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів і  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, тому в інтервалі  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів графік функції опуклий, а в інтервалі Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів —  угнутий.

6) Для знаходження горизонтальних асимптот графіка функції обчислимо Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, отже, горизонтальних асимптот графік функції не має.

Для знаходження похилих асимптот  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів обчислимо границі  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів і  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Отже пряма Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів є похилою асимптотою графіка функції.

7) Для знаходження точок перетину графіка функції з осями координат необхідно розв’язати системи:  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів .

Розв’язок першої системи дає точки перетину графіка функції з віссю Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, другої – з віссю  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів. Маємо Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, а рівняння Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів не має розв’язків. Отже, графік функції перетинає лише вісь Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів у точці  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

За одержаними даними схематично зобразимо графік функції Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів:Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Задача № 10.  Обчислити невизначені інтеграли.  а)  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів б)  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів .

Результати перевірити.

Розв’язання.

А) Використаємо підстановку  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів, тоді  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Перевірка: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Отримали підінтегральну функцію, отже, інтеграл обчислений вірно.

Б) Обчислимо даний інтеграл методом інтегрування частинами:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,  тоді  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів,

Останній інтеграл обчислимо, виділивши цілу частину: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Таким чином  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Перевірка: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Інтеграл обчислений вірно.

Задача 11.  Обчислити  визначені  інтеграли:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів.

Розв’язання.

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентівПриклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Задача 12.  Обчислити площу фігури, яка обмежена лініями:Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Розв’язання  Побудуємо  фігуру,  площу  якої  треба  обчислити.

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів— парабола, вітки якої направлені вниз; вершина параболи співпадає з початком координат; Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів— абсциси точок перетину параболи з віссю Ох; Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів —  пряма лінія. Необхідно обчислити площу заштрихованої фігури. Використаємо формулу Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів Для того, щоб знайти межі інтегрування, розв’яжемо систему рівнянь:

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Звідси  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів Отже,  межі  інтегрування  такі: Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів Знаходимо  площу фігури:  Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів

Приклади розв’язання типових завдань для самостійноі роботи студентів(кв. одиниць).

Tagged with: , ,
Posted in Вища математика 3к.1с
Перелік предметів:
  1. Інформаційні технологіі в галузі
  2. Інформаційні технологіі в системах якості стандартизаціісертифікаціі
  3. Історія української культури
  4. Бухоблік у ресторанному господарстві
  5. Діловодство
  6. Мікропроцесорні системи управління технологічними процесами
  7. Науково-практичні основи технологіі молока і молочних продуктів
  8. Науково-практичні основи технологіі м’яса і м’ясних продуктів
  9. Організація обслуговування у підприємствах ресторанного господарства
  10. Основи наукових досліджень та технічноі творчості
  11. Основи охорони праці
  12. Основи підприємницькоі діяльності та агробізнесу
  13. Політологія
  14. Технологічне обладнання для молочноі промисловості
  15. Технологічне обладнання для м’ясноі промисловості
  16. Технологічний семінар
  17. Технологія зберігання консервування та переробки молока
  18. Технологія зберігання консервування та переробки м’яса
  19. Технологія продукціі підприємств ресторанного господарства
  20. Технохімічний контроль
  21. Технохімічний контроль
  22. Управління якістю продукціі ресторанного господарства
  23. Вища математика 3к.1с
  24. Вступ до фаху 4к.2с.
  25. Загальні технології харчових виробництв
  26. Загальна технологія харчових виробництв 4к.2с.
  27. Мікробіологія молока і молочних продуктів 3к.1с
  28. Математичні моделі в розрахунках на еом
  29. Методи контролю харчових виробництв
  30. Основи фізіології та гігієни харчування 3к.1с
  31. Отримання доброякісного молока 3к.1с
  32. Прикладна механіка
  33. Прикладна механіка 4к.2с.
  34. Теоретичні основи технології харчових виробництв
  35. Технологія зберігання, консервування та переробки м’яса
  36. Фізика
  37. Харчові та дієтичні добавки
  38. Фізичне виховання 3к.1с

На русском

  1. Методы контроля пищевых производств
  2. Общая технология пищевых производств
  3. Теоретические основы технологий пищевых производств
  4. Технология хранения, консервирования и переработки мяса
LiveInternet