Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

9. Подвійні інтеграли. Обчислення та застосування.

Потрійний інтеграл. Обчислення та застосування.  

План:

1. Задачі, що приводять до подвійного інтеграла.

2. Подвійні інтеграли. Обчислення та застосування.

3. Потрійний інтеграл. Обчислення та застосування.  

Задачі, що приводять до подвійного інтеграла.

  Задача про масу неоднорідної пластинки

Нехай D — неоднорідна пластинка і Подвійний інтеграл його обчислення та застосування — її поверхнева густина. Треба знайти масу m(D) цієї пластинки (рис. 1).

Для однорідної пластинки, тобто коли Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, маса Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, де S — площа пластинки D.

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняУ випадку неоднорідності будемо вважати функцію Подвійний інтеграл його обчислення та застосування неперервною в області D. Тоді для обчислення маси m(D) природно вчинити так. Сіткою кривих розіб’ємо область D на квадровні (такі, що мають площу) частини Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Позначимо Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПри цьому під діаметром Подвійний інтеграл його обчислення та застосування області Подвійний інтеграл його обчислення та застосування розуміють довжину найбільшої з хорд Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, а хордою Подвійний інтеграл його обчислення та застосування називають відрізок, який сполучає дві довільні точки контура (або межі) Подвійний інтеграл його обчислення та застосування.

В кожній частині Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, довільно візьмемо по одній точці Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і будемо вважати, що частина Подвійний інтеграл його обчислення та застосування однорідна і її густина скрізь дорівнює Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Таке припущення виправдане неперервністю функції Подвійний інтеграл його обчислення та застосування в області D. Тому для достатньо малих Подвійний інтеграл його обчислення та застосування густина Подвійний інтеграл його обчислення та застосування мало змінюється в межах Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і можна вважати, що вона в Подвійний інтеграл його обчислення та застосування стала і дорівнює Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Тоді

  Подвійний інтеграл його обчислення та застосування  Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

І за масу m пластинки D природно взяти число

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування,     (1)

Якщо ця границя існує.

До обчислення границь (1) приводять багато інших задач. наприклад, задача про об’єм циліндричного тіла, обмеженого знизу квадровною областю D площини XOY, зверху – графіком неперервної невід’ємної функції Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, збоку – циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі OZ, а напрямною є межа (контур) області D. Циліндричне тіло є просторовим аналогом криволінійної трапеції і його об’єм V визначається рівністю

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування,       (2)

Де числа Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, точка Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, Подвійний інтеграл його обчислення та застосування,  мають той же зміст, що і в попередній задачі.

Границі виду (2) часто зустрічаються на практиці при застосуваннях матичного аналізу. Тому їх певним чином позначають і детально вивчають.

Означення подвійного інтеграла

Нехай у обмеженій квадровній області D задана функція Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Сіткою (T) кривих довільно розіб’ємо область D на квадровні частини Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Позначимо

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування.

У кожній частині  довільно візьмемо по одній точці Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і складемо суму

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування     (3)

Яку називають інтегральною. Вона залежить від (T) — розбиття області D на частини Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і від вибору точок Подвійний інтеграл його обчислення та застосування.

Означення 1. Число I називається границею інтегральних сум (3) при Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, якщо для довільного числа Подвійний інтеграл його обчислення та застосування існує таке число Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, що для довільного (T) — розбиття області D на частини Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняІ довільного вибору точок Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, Подвійний інтеграл його обчислення та застосування,  з умови Подвійний інтеграл його обчислення та застосування випливає нерівність Подвійний інтеграл його обчислення та застосування.

При цьому число I називають подвійним інтегралом функції Подвійний інтеграл його обчислення та застосування по області D і позначають символом Подвійний інтеграл його обчислення та застосування або Подвійний інтеграл його обчислення та застосування.

Таким чином, за означенням 1

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування       (4)

Якщо означення 1 зіставити із задачею про масу неоднорідної пластинки, то отримаємо формулу

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування     (5)

Яка розкриває фізичний зміст подвійного інтеграла.

Якщо означення 1 зіставити із задачею про об’єм циліндричного тіла, то отримаємо формулу

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування     (6)

Яка розкриває геометричний зміст подвійного інтеграла.

Теорема 1. Якщо функція Подвійний інтеграл його обчислення та застосування неперервна в обмеженій квадровній області D, то подвійний інтеграл  існує.

Теорему 1 приймаємо без доведення.

  Властивості подвійного інтеграла

Основні властивості подвійного інтеграла аналогічні властивостям визначеного інтеграла:

1º. Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

2º. Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

3º. Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

4º. Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

5º. Якщо Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і області Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і Подвійний інтеграл його обчислення та застосування не мають спільних внутрішніх точок (вони мають лише спільну межу), то Подвійний інтеграл його обчислення та застосування(адитивна властивість ).

6º. Якщо функція Подвійний інтеграл його обчислення та застосування неперервна в області D, то існує точка Подвійний інтеграл його обчислення та застосування така, що Подвійний інтеграл його обчислення та застосування(теорема про середнє значення).

В рівностях 3º, 4º, 5º вважають, що подвійні інтеграли функцій Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування по вказаних областях існують.

Доведемо, наприклад, властивість 3º. Маємо

    Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

При доведенні використані означення подвійного інтеграла і той факт, що сталий множник можна виносити за знак суми і за знак границі.

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняЗ властивості 3º при Подвійний інтеграл його обчислення та застосування отримуємо рівність 1º, а при Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і Подвійний інтеграл його обчислення та застосування в (D) отримуємо рівність 2º.

Рівність 5º, виходячи з фізичного змісту подвійного інтеграла означає наступне: якщо пластинка D є об’єднанням пластинок Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і Подвійний інтеграл його обчислення та застосування (рис. 2), то, очевидно, маса пластинки D дорівнює сумі мас пластинок  Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і  Подвійний інтеграл його обчислення та застосування.

Теорему про середнє значення приймаємо без доведення.

Обчислення подвійного інтеграла У декартових координатах

Теорема 2. Нехай функція Подвійний інтеграл його обчислення та застосування неперервна в області D, обмеженій лініями Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування, причому функції Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і Подвійний інтеграл його обчислення та застосування неперервні на відрізку [a; b]  і Подвійний інтеграл його обчислення та застосування для довільного Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Тоді має місце формула

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування    (7)

Формула (7) показує, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до обчислення двох визначених інтегралів. Інтеграл справа у формулі (7) називається повторним, причому інтеграл по змінній y  називається внутрішнім,  а по змінній x — зовнішнім.

Аналітичне доведення формули (7) дещо громіздке, тому наведемо тут міркування, що випливають з фізичного змісту подвійного інтеграла. Будемо вважати, що функція Подвійний інтеграл його обчислення та застосування невід’ємна в області D  і  є  поверхневою  густиною пластинки  D.

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняВиділимо смугу області D між вертикалями x і Подвійний інтеграл його обчислення та застосування (рис. 3). маса цієї смуги (вона заштрихована на рис.7.3), очевидно, дорівнює Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Тоді маса всієї пластинки D буде дорівнювати Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, звідки за фізичним змістом подвійного інтеграла і випливає формула (7).

Приклад 1. Обчислити Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, якщо область D обмежена лініями Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і Подвійний інтеграл його обчислення та застосування(рис. 4).

Розв’язання. Задані лінії перетинаються в двох точках:  O(0, 0) і A(1, 1). Тому за формулою (7) маємо:

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування
Подвійний інтеграл його обчислення та застосування    Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

У випадку області D, обмеженої лініями Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування, причому функції Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і Подвійний інтеграл його обчислення та застосування неперервні на відрізку [c; d] і Подвійний інтеграл його обчислення та застосування для довільного Подвійний інтеграл його обчислення та застосування (рис. 5), має місце формула

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування     (8)

Приклад 2. Обчислити Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, якщо область D обмежена лініями Подвійний інтеграл його обчислення та застосування (рис. 6).

Розв’язання. З умов прикладу маємо: Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування. Тому за формулою (8)

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування    Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

Зауважимо, що даний інтеграл можна обчислити і за формулою (7),   якщо помітити, що Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, а

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

Тоді

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

Тобто даний інтеграл за адитивною властивістю дорівнює сумі двох інтегралів. Обчислимо кожний з них окремо:

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування

Тоді Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, тобто отримали попередній результат, але обчислень довелося виконати більше, ніж за формулою (8).

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування
Обчислення подвійного інтеграла у полярних координатах

У ряді випадків обчислення подвійного інтеграла спрощується, якщо перейти до полярних координат за формулами Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування. Тоді

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування  (9)

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняФормулу (9) одержуємо із означення подвійного інтеграла, якщо область D розбити на частини променями Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і колами Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Тоді Подвійний інтеграл його обчислення та застосування (рис. 7).

Приклад 3. Обчислити Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, якщо область D обмежена колом радіуса R.

Розв’язання. Використаємо формулу (9) для обчислення даного подвійного інтеграла. маємо: Подвійний інтеграл його обчислення та застосування    Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

Щоб описати круг Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, необхідно, щоб r змінювався у межах Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, а Подвійний інтеграл його обчислення та застосування — у межах Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Тому

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування

Зауважимо, що в декартових координатах даний інтеграл не можна обчислити за формулами (7) або (8), оскільки первісна функції Подвійний інтеграл його обчислення та застосування не виражається у скінченному вигляді.

Цікаво відзначити, що при Подвійний інтеграл його обчислення та застосування даний інтеграл має границю Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, а область D охоплює всю площину XOY. Запишемо інтеграл у вигляді Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Тоді отримаємо, що Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Цей результат можна одержати і іншими способами, наприклад за допомогою гама-функції Ейлера.

Потрійний інтеграл. Обчислення та застосування.  

Потрійний інтеграл

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняДо потрійного інтегралу приводить багато задач. Однією з них є задача про масу неоднорідного тіла G. Нехай у просторі задано неоднорідне тіло G (рис. 12) і Подвійний інтеграл його обчислення та застосування — його густина. Треба знайти масу тіла G.

У випадку однорідного тіла, коли Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, маса m тіла G, очевидно, дорівнює Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, де V — об’єм тіла G.

Якщо тіло G неоднорідне, то його масу m природно визначити так. Сіткою поверхонь (T) розіб’ємо тіло G на частини Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування…, Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Позначимо Подвійний інтеграл його обчислення та застосування об’єм частини Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. У кожній частині Подвійний інтеграл його обчислення та застосування довільно візьмемо по одній точці Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і будемо вважати, що густина у частині Подвійний інтеграл його обчислення та застосування скрізь однакова і дорівнює Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Таке припущення виправдане, якщо функція Подвійний інтеграл його обчислення та застосування неперервна в області G, а частини Подвійний інтеграл його обчислення та застосування достатньо малі. Позначимо Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування, Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Тоді Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосуванняІ за масу m тіла G природно взяти

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

Якщо ця границя існує.

Таким чином, за означенням,

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування         (19)

Границю справа у рівності (19), якщо вона існує, називають потрійним інтегралом функції Подвійний інтеграл його обчислення та застосування по області G і позначають символом Подвійний інтеграл його обчислення та застосування або Подвійний інтеграл його обчислення та застосування.

Проводячи аналогічні міркування для функції Подвійний інтеграл його обчислення та застосування змінних x, y, z, приходимо до означення потрійного інтеграла функції Подвійний інтеграл його обчислення та застосування по області G:

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування     (20)

З рівності (19) і означення потрійного інтеграла випливає формула для обчислення маси тіла G:

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування  (21)

Яка ілюструє фізичний зміст потрійного інтеграла.

Потрійний інтеграл існує, якщо область G обмежена і кубовна (тобто має об’єм), а функція Подвійний інтеграл його обчислення та застосування неперервна в області G.

Основні властивості потрійного інтеграла аналогічні відповідним властивостям подвійного інтеграла і тому їх тут не наводимо.

Обчислення потрійного інтеграла в декартових координатах

Теорема 3. Нехай тіло G обмежене знизу поверхнею  Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, зверху – поверхнею Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, де функції Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і Подвійний інтеграл його обчислення та застосування неперервні в області D, яка є проекцією тіла G на площину XOY, збоку – циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі OZ, а напрямною є контур області D (рис. 13). Тоді, якщо функція Подвійний інтеграл його обчислення та застосування неперервна в області G,  має місце формула

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування     (22)

Доведення формули (22) аналогічне доведенню формули (7) для обчислення подвійного інтеграла. З формули (22) випливає, що обчислення потрійного інтеграла зводиться до обчислення подвійного інтеграла.

Приклад 7. Обчислити Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, якщо область G обмежена поверхнями Подвійний інтеграл його обчислення та застосування.

Розв’язання. Маємо: Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, область D обмежена лініями Подвійний інтеграл його обчислення та застосування (рис. 14).

 Тому за формулою (22) маємо

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування.

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

Обчислення потрійного інтеграла у циліндричних координатах

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняОбчислення потрійного інтеграла в ряді випадків спрощується, якщо від декартових координат перейти до циліндричних.  Нагадаємо, що положення точки M У просторі можна задати не лише декартовими координатами X, Y, Z, а й числами R, Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, Z, де R, Подвійний інтеграл його обчислення та застосування — полярні координати точки Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, яка є ортогональною проекцією точки M На площину XOY Рис. 15). числа R, Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, Z Називаються Циліндричними координатами точки M. При цьому Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування.

Циліндричні координати пов’язані з декартовими формулами

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування  (23)

Потрійний інтеграл у циліндричних координатах має вигляд

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування     (24)

Цю формулу отримуємо шляхом заміни Подвійний інтеграл його обчислення та застосування через r, Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, z за формулами (23). Елемент об’єму dV=dxdydz у циліндричних координатах має вигляд Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, якщо область G розбивати на частини сіткою поверхонь: Подвійний інтеграл його обчислення та застосування (циліндричні поверхні з віссю OZ); Подвійний інтеграл його обчислення та застосування (площини, що проходить через вісь OZ, перпендикулярно до площини XOY); Подвійний інтеграл його обчислення та застосування (площини, перпендикулярні до осі OZ).

Приклад 8. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями Подвійний інтеграл його обчислення та застосування та Подвійний інтеграл його обчислення та застосування.

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняРозв’язання. Дане тіло G обмежене зверху частиною сфери  Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, а знизу – частиною параболоїда Подвійний інтеграл його обчислення та застосування (рис. 7.16). для обчислення об’єму тіла G використаємо формулу

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

Розв’язуємо систему рівнянь

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

І знаходимо лінію перетину даних поверхонь. Це буде коло Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, яке лежить у площині Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Запишемо рівняння поверхонь у циліндричних координатах Подвійний інтеграл його обчислення та застосування і Подвійний інтеграл його обчислення та застосування. Проекцією тіла G на площину XOY є круг радіуса Подвійний інтеграл його обчислення та застосування з центром у початку координат. Тому за формулою (22) маємо:

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування

Обчислення об’єму цього тіла у декартових координатах значно складніше.

Обчислення потрійного інтеграла у сферичних координатах

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняОбчислення потрійного інтеграла в ряді випадків також спрощується, якщо від декартових координат перейти до сферичних.

Нагадаємо, що положення точки M можна задати числами Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, які називаються сферичними координатами цієї точки  (рис. 17).

При цьому Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування.

Сферичні координати пов’язані з декартовими формулами

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування.  (25)

Потрійний інтеграл у сферичних координатах має вигляд

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування  (26)

Дану формулу одержимо шляхом заміни x, y, z через Подвійний інтеграл його обчислення та застосування за формулами (25), а елемент об’єму у сферичних координатах має вигляд Подвійний інтеграл його обчислення та застосування, якщо область G розбивати на частини сіткою поверхонь: Подвійний інтеграл його обчислення та застосування (концентричні сфери з центром у початку координат), Подвійний інтеграл його обчислення та застосування (площини, що проходять через вісь OZ перпендикулярно до площини XOY), Подвійний інтеграл його обчислення та застосування (кругові конічні поверхні з вершиною у початку координат і віссю OZ).

Приклад 9. Обчислити об’єм кулі радіуса R.

Розв’язання. За формулою (26) маємо:

Подвійний інтеграл його обчислення та застосуванняПодвійний інтеграл його обчислення та застосування

Таким чином, обчислення об’єму кулі показано з використанням визначеного (приклад 8), подвійного (приклад 4) і потрійного (приклад 9) інтегралів.

Tagged with:
Posted in Вища математика 3к.1с

Перелік предметів:
  1. Інформаційні технологіі в галузі
  2. Інформаційні технологіі в системах якості стандартизаціісертифікаціі
  3. Історія української культури
  4. Бухоблік у ресторанному господарстві
  5. Діловодство
  6. Мікропроцесорні системи управління технологічними процесами
  7. Науково-практичні основи технологіі молока і молочних продуктів
  8. Науково-практичні основи технологіі м’яса і м’ясних продуктів
  9. Організація обслуговування у підприємствах ресторанного господарства
  10. Основи наукових досліджень та технічноі творчості
  11. Основи охорони праці
  12. Основи підприємницькоі діяльності та агробізнесу
  13. Політологія
  14. Технологічне обладнання для молочноі промисловості
  15. Технологічне обладнання для м’ясноі промисловості
  16. Технологічний семінар
  17. Технологія зберігання консервування та переробки молока
  18. Технологія зберігання консервування та переробки м’яса
  19. Технологія продукціі підприємств ресторанного господарства
  20. Технохімічний контроль
  21. Технохімічний контроль
  22. Управління якістю продукціі ресторанного господарства
  23. Вища математика 3к.1с
  24. Вступ до фаху 4к.2с.
  25. Загальні технології харчових виробництв
  26. Загальна технологія харчових виробництв 4к.2с.
  27. Мікробіологія молока і молочних продуктів 3к.1с
  28. Математичні моделі в розрахунках на еом
  29. Методи контролю харчових виробництв
  30. Основи фізіології та гігієни харчування 3к.1с
  31. Отримання доброякісного молока 3к.1с
  32. Прикладна механіка
  33. Прикладна механіка 4к.2с.
  34. Теоретичні основи технології харчових виробництв
  35. Технологія зберігання, консервування та переробки м’яса
  36. Фізика
  37. Харчові та дієтичні добавки
  38. Фізичне виховання 3к.1с

На русском

  1. Методы контроля пищевых производств
  2. Общая технология пищевых производств
  3. Теоретические основы технологий пищевых производств
  4. Технология хранения, консервирования и переработки мяса
LiveInternet

Интернет реклама УБС