9. Подвійні інтеграли. Обчислення та застосування.

Потрійний інтеграл. Обчислення та застосування.  

План:

1. Задачі, що приводять до подвійного інтеграла.

2. Подвійні інтеграли. Обчислення та застосування.

3. Потрійний інтеграл. Обчислення та застосування.  

Задачі, що приводять до подвійного інтеграла.

  Задача про масу неоднорідної пластинки

Нехай D — неоднорідна пластинка і  — її поверхнева густина. Треба знайти масу m(D) цієї пластинки (рис. 1).

Для однорідної пластинки, тобто коли , маса , де S — площа пластинки D.

У випадку неоднорідності будемо вважати функцію  неперервною в області D. Тоді для обчислення маси m(D) природно вчинити так. Сіткою кривих розіб’ємо область D на квадровні (такі, що мають площу) частини . Позначимо При цьому під діаметром  області  розуміють довжину найбільшої з хорд , а хордою  називають відрізок, який сполучає дві довільні точки контура (або межі) .

В кожній частині , , довільно візьмемо по одній точці  і будемо вважати, що частина  однорідна і її густина скрізь дорівнює . Таке припущення виправдане неперервністю функції  в області D. Тому для достатньо малих  густина  мало змінюється в межах  і можна вважати, що вона в  стала і дорівнює . Тоді

   

І за масу m пластинки D природно взяти число

,     (1)

Якщо ця границя існує.

До обчислення границь (1) приводять багато інших задач. наприклад, задача про об’єм циліндричного тіла, обмеженого знизу квадровною областю D площини XOY, зверху – графіком неперервної невід’ємної функції , , збоку – циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі OZ, а напрямною є межа (контур) області D. Циліндричне тіло є просторовим аналогом криволінійної трапеції і його об’єм V визначається рівністю

,       (2)

Де числа , точка , ,  мають той же зміст, що і в попередній задачі.

Границі виду (2) часто зустрічаються на практиці при застосуваннях матичного аналізу. Тому їх певним чином позначають і детально вивчають.

Означення подвійного інтеграла

Нехай у обмеженій квадровній області D задана функція . Сіткою (T) кривих довільно розіб’ємо область D на квадровні частини , . Позначимо

,  ,  .

У кожній частині  довільно візьмемо по одній точці ,  і складемо суму

     (3)

Яку називають інтегральною. Вона залежить від (T) — розбиття області D на частини  і від вибору точок .

Означення 1. Число I називається границею інтегральних сум (3) при , якщо для довільного числа  існує таке число , що для довільного (T) — розбиття області D на частини , І довільного вибору точок , ,  з умови  випливає нерівність .

При цьому число I називають подвійним інтегралом функції  по області D і позначають символом  або .

Таким чином, за означенням 1

       (4)

Якщо означення 1 зіставити із задачею про масу неоднорідної пластинки, то отримаємо формулу

     (5)

Яка розкриває фізичний зміст подвійного інтеграла.

Якщо означення 1 зіставити із задачею про об’єм циліндричного тіла, то отримаємо формулу

     (6)

Яка розкриває геометричний зміст подвійного інтеграла.

Теорема 1. Якщо функція  неперервна в обмеженій квадровній області D, то подвійний інтеграл  існує.

Теорему 1 приймаємо без доведення.

  Властивості подвійного інтеграла

Основні властивості подвійного інтеграла аналогічні властивостям визначеного інтеграла:

1º.

2º.

3º.

4º.

5º. Якщо  і області  і  не мають спільних внутрішніх точок (вони мають лише спільну межу), то (адитивна властивість ).

6º. Якщо функція  неперервна в області D, то існує точка  така, що (теорема про середнє значення).

В рівностях 3º, 4º, 5º вважають, що подвійні інтеграли функцій ,  по вказаних областях існують.

Доведемо, наприклад, властивість 3º. Маємо

   

При доведенні використані означення подвійного інтеграла і той факт, що сталий множник можна виносити за знак суми і за знак границі.

З властивості 3º при  отримуємо рівність 1º, а при  і  в (D) отримуємо рівність 2º.

Рівність 5º, виходячи з фізичного змісту подвійного інтеграла означає наступне: якщо пластинка D є об’єднанням пластинок  і  (рис. 2), то, очевидно, маса пластинки D дорівнює сумі мас пластинок   і  .

Теорему про середнє значення приймаємо без доведення.

Обчислення подвійного інтеграла У декартових координатах

Теорема 2. Нехай функція  неперервна в області D, обмеженій лініями , причому функції  і  неперервні на відрізку [a; b]  і  для довільного . Тоді має місце формула

    (7)

Формула (7) показує, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до обчислення двох визначених інтегралів. Інтеграл справа у формулі (7) називається повторним, причому інтеграл по змінній y  називається внутрішнім,  а по змінній x — зовнішнім.

Аналітичне доведення формули (7) дещо громіздке, тому наведемо тут міркування, що випливають з фізичного змісту подвійного інтеграла. Будемо вважати, що функція  невід’ємна в області D  і  є  поверхневою  густиною пластинки  D.

Виділимо смугу області D між вертикалями x і  (рис. 3). маса цієї смуги (вона заштрихована на рис.7.3), очевидно, дорівнює . Тоді маса всієї пластинки D буде дорівнювати , звідки за фізичним змістом подвійного інтеграла і випливає формула (7).

Приклад 1. Обчислити , якщо область D обмежена лініями  і (рис. 4).

Розв’язання. Задані лінії перетинаються в двох точках:  O(0, 0) і A(1, 1). Тому за формулою (7) маємо:

   

У випадку області D, обмеженої лініями , причому функції  і  неперервні на відрізку [c; d] і  для довільного  (рис. 5), має місце формула

     (8)

Приклад 2. Обчислити , якщо область D обмежена лініями  (рис. 6).

Розв’язання. З умов прикладу маємо: . Тому за формулою (8)

   

Зауважимо, що даний інтеграл можна обчислити і за формулою (7),   якщо помітити, що , а

Тоді

Тобто даний інтеграл за адитивною властивістю дорівнює сумі двох інтегралів. Обчислимо кожний з них окремо:

Тоді , тобто отримали попередній результат, але обчислень довелося виконати більше, ніж за формулою (8).

Обчислення подвійного інтеграла у полярних координатах

У ряді випадків обчислення подвійного інтеграла спрощується, якщо перейти до полярних координат за формулами . Тоді

  (9)

Формулу (9) одержуємо із означення подвійного інтеграла, якщо область D розбити на частини променями  і колами . Тоді  (рис. 7).

Приклад 3. Обчислити , якщо область D обмежена колом радіуса R.

Розв’язання. Використаємо формулу (9) для обчислення даного подвійного інтеграла. маємо:    

Щоб описати круг , необхідно, щоб r змінювався у межах , а  — у межах . Тому

Зауважимо, що в декартових координатах даний інтеграл не можна обчислити за формулами (7) або (8), оскільки первісна функції  не виражається у скінченному вигляді.

Цікаво відзначити, що при  даний інтеграл має границю , а область D охоплює всю площину XOY. Запишемо інтеграл у вигляді . Тоді отримаємо, що . Цей результат можна одержати і іншими способами, наприклад за допомогою гама-функції Ейлера.

Потрійний інтеграл. Обчислення та застосування.  

Потрійний інтеграл

До потрійного інтегралу приводить багато задач. Однією з них є задача про масу неоднорідного тіла G. Нехай у просторі задано неоднорідне тіло G (рис. 12) і  — його густина. Треба знайти масу тіла G.

У випадку однорідного тіла, коли , маса m тіла G, очевидно, дорівнює , де V — об’єм тіла G.

Якщо тіло G неоднорідне, то його масу m природно визначити так. Сіткою поверхонь (T) розіб’ємо тіло G на частини …, . Позначимо  об’єм частини . У кожній частині  довільно візьмемо по одній точці  і будемо вважати, що густина у частині  скрізь однакова і дорівнює . Таке припущення виправдане, якщо функція  неперервна в області G, а частини  достатньо малі. Позначимо , . Тоді І за масу m тіла G природно взяти

Якщо ця границя існує.

Таким чином, за означенням,

         (19)

Границю справа у рівності (19), якщо вона існує, називають потрійним інтегралом функції  по області G і позначають символом  або .

Проводячи аналогічні міркування для функції  змінних x, y, z, приходимо до означення потрійного інтеграла функції  по області G:

     (20)

З рівності (19) і означення потрійного інтеграла випливає формула для обчислення маси тіла G:

  (21)

Яка ілюструє фізичний зміст потрійного інтеграла.

Потрійний інтеграл існує, якщо область G обмежена і кубовна (тобто має об’єм), а функція  неперервна в області G.

Основні властивості потрійного інтеграла аналогічні відповідним властивостям подвійного інтеграла і тому їх тут не наводимо.

Обчислення потрійного інтеграла в декартових координатах

Теорема 3. Нехай тіло G обмежене знизу поверхнею  , зверху – поверхнею , де функції  і  неперервні в області D, яка є проекцією тіла G на площину XOY, збоку – циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі OZ, а напрямною є контур області D (рис. 13). Тоді, якщо функція  неперервна в області G,  має місце формула

     (22)

Доведення формули (22) аналогічне доведенню формули (7) для обчислення подвійного інтеграла. З формули (22) випливає, що обчислення потрійного інтеграла зводиться до обчислення подвійного інтеграла.

Приклад 7. Обчислити , якщо область G обмежена поверхнями .

Розв’язання. Маємо: , область D обмежена лініями  (рис. 14).

 Тому за формулою (22) маємо

.

Обчислення потрійного інтеграла у циліндричних координатах

Обчислення потрійного інтеграла в ряді випадків спрощується, якщо від декартових координат перейти до циліндричних.  Нагадаємо, що положення точки M У просторі можна задати не лише декартовими координатами X, Y, Z, а й числами R, , Z, де R,  — полярні координати точки , яка є ортогональною проекцією точки M На площину XOY Рис. 15). числа R, , Z Називаються Циліндричними координатами точки M. При цьому .

Циліндричні координати пов’язані з декартовими формулами

  (23)

Потрійний інтеграл у циліндричних координатах має вигляд

     (24)

Цю формулу отримуємо шляхом заміни  через r, , z за формулами (23). Елемент об’єму dV=dxdydz у циліндричних координатах має вигляд , якщо область G розбивати на частини сіткою поверхонь:  (циліндричні поверхні з віссю OZ);  (площини, що проходить через вісь OZ, перпендикулярно до площини XOY);  (площини, перпендикулярні до осі OZ).

Приклад 8. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями  та .

Розв’язання. Дане тіло G обмежене зверху частиною сфери  , а знизу – частиною параболоїда  (рис. 7.16). для обчислення об’єму тіла G використаємо формулу

Розв’язуємо систему рівнянь

І знаходимо лінію перетину даних поверхонь. Це буде коло , яке лежить у площині . Запишемо рівняння поверхонь у циліндричних координатах  і . Проекцією тіла G на площину XOY є круг радіуса  з центром у початку координат. Тому за формулою (22) маємо:

Обчислення об’єму цього тіла у декартових координатах значно складніше.

Обчислення потрійного інтеграла у сферичних координатах

Обчислення потрійного інтеграла в ряді випадків також спрощується, якщо від декартових координат перейти до сферичних.

Нагадаємо, що положення точки M можна задати числами , які називаються сферичними координатами цієї точки  (рис. 17).

При цьому , .

Сферичні координати пов’язані з декартовими формулами

.  (25)

Потрійний інтеграл у сферичних координатах має вигляд

  (26)

Дану формулу одержимо шляхом заміни x, y, z через  за формулами (25), а елемент об’єму у сферичних координатах має вигляд , якщо область G розбивати на частини сіткою поверхонь:  (концентричні сфери з центром у початку координат),  (площини, що проходять через вісь OZ перпендикулярно до площини XOY),  (кругові конічні поверхні з вершиною у початку координат і віссю OZ).

Приклад 9. Обчислити об’єм кулі радіуса R.

Розв’язання. За формулою (26) маємо:

Таким чином, обчислення об’єму кулі показано з використанням визначеного (приклад 8), подвійного (приклад 4) і потрійного (приклад 9) інтегралів.