9. Подвійні інтеграли. Обчислення та застосування.
Потрійний інтеграл. Обчислення та застосування.
План:
1. Задачі, що приводять до подвійного інтеграла.
2. Подвійні інтеграли. Обчислення та застосування.
3. Потрійний інтеграл. Обчислення та застосування.
Задачі, що приводять до подвійного інтеграла.
Задача про масу неоднорідної пластинки
Нехай D — неоднорідна пластинка і — її поверхнева густина. Треба знайти масу m(D) цієї пластинки (рис. 1).
Для однорідної пластинки, тобто коли , маса
, де S — площа пластинки D.
У випадку неоднорідності будемо вважати функцію
неперервною в області D. Тоді для обчислення маси m(D) природно вчинити так. Сіткою кривих розіб’ємо область D на квадровні (такі, що мають площу) частини
. Позначимо
При цьому під діаметром
області
розуміють довжину найбільшої з хорд
, а хордою
називають відрізок, який сполучає дві довільні точки контура (або межі)
.
В кожній частині ,
, довільно візьмемо по одній точці
і будемо вважати, що частина
однорідна і її густина скрізь дорівнює
. Таке припущення виправдане неперервністю функції
в області D. Тому для достатньо малих
густина
мало змінюється в межах
і можна вважати, що вона в
стала і дорівнює
. Тоді
І за масу m пластинки D природно взяти число
, (1)
Якщо ця границя існує.
До обчислення границь (1) приводять багато інших задач. наприклад, задача про об’єм циліндричного тіла, обмеженого знизу квадровною областю D площини XOY, зверху – графіком неперервної невід’ємної функції ,
, збоку – циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі OZ, а напрямною є межа (контур) області D. Циліндричне тіло є просторовим аналогом криволінійної трапеції і його об’єм V визначається рівністю
, (2)
Де числа , точка
,
, мають той же зміст, що і в попередній задачі.
Границі виду (2) часто зустрічаються на практиці при застосуваннях матичного аналізу. Тому їх певним чином позначають і детально вивчають.
Означення подвійного інтеграла
Нехай у обмеженій квадровній області D задана функція . Сіткою (T) кривих довільно розіб’ємо область D на квадровні частини
,
. Позначимо
,
,
.
У кожній частині довільно візьмемо по одній точці ,
і складемо суму
(3)
Яку називають інтегральною. Вона залежить від (T) — розбиття області D на частини і від вибору точок
.
Означення 1. Число I називається границею інтегральних сум (3) при , якщо для довільного числа
існує таке число
, що для довільного (T) — розбиття області D на частини
,
І довільного вибору точок
,
, з умови
випливає нерівність
.
При цьому число I називають подвійним інтегралом функції по області D і позначають символом
або
.
Таким чином, за означенням 1
(4)
Якщо означення 1 зіставити із задачею про масу неоднорідної пластинки, то отримаємо формулу
(5)
Яка розкриває фізичний зміст подвійного інтеграла.
Якщо означення 1 зіставити із задачею про об’єм циліндричного тіла, то отримаємо формулу
(6)
Яка розкриває геометричний зміст подвійного інтеграла.
Теорема 1. Якщо функція неперервна в обмеженій квадровній області D, то подвійний інтеграл існує.
Теорему 1 приймаємо без доведення.
Властивості подвійного інтеграла
Основні властивості подвійного інтеграла аналогічні властивостям визначеного інтеграла:
1º.
2º.
3º.
4º.
5º. Якщо і області
і
не мають спільних внутрішніх точок (вони мають лише спільну межу), то
(адитивна властивість ).
6º. Якщо функція неперервна в області D, то існує точка
така, що
(теорема про середнє значення).
В рівностях 3º, 4º, 5º вважають, що подвійні інтеграли функцій ,
по вказаних областях існують.
Доведемо, наприклад, властивість 3º. Маємо
При доведенні використані означення подвійного інтеграла і той факт, що сталий множник можна виносити за знак суми і за знак границі.
З властивості 3º при
отримуємо рівність 1º, а при
і
в (D) отримуємо рівність 2º.
Рівність 5º, виходячи з фізичного змісту подвійного інтеграла означає наступне: якщо пластинка D є об’єднанням пластинок і
(рис. 2), то, очевидно, маса пластинки D дорівнює сумі мас пластинок
і
.
Теорему про середнє значення приймаємо без доведення.
Обчислення подвійного інтеграла У декартових координатах
Теорема 2. Нехай функція неперервна в області D, обмеженій лініями
, причому функції
і
неперервні на відрізку [a; b] і
для довільного
. Тоді має місце формула
(7)
Формула (7) показує, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до обчислення двох визначених інтегралів. Інтеграл справа у формулі (7) називається повторним, причому інтеграл по змінній y називається внутрішнім, а по змінній x — зовнішнім.
Аналітичне доведення формули (7) дещо громіздке, тому наведемо тут міркування, що випливають з фізичного змісту подвійного інтеграла. Будемо вважати, що функція невід’ємна в області D і є поверхневою густиною пластинки D.
Виділимо смугу області D між вертикалями x і
(рис. 3). маса цієї смуги (вона заштрихована на рис.7.3), очевидно, дорівнює
. Тоді маса всієї пластинки D буде дорівнювати
, звідки за фізичним змістом подвійного інтеграла і випливає формула (7).
Приклад 1. Обчислити , якщо область D обмежена лініями
і
(рис. 4).
Розв’язання. Задані лінії перетинаються в двох точках: O(0, 0) і A(1, 1). Тому за формулою (7) маємо:
У випадку області D, обмеженої лініями , причому функції
і
неперервні на відрізку [c; d] і
для довільного
(рис. 5), має місце формула
(8)
Приклад 2. Обчислити , якщо область D обмежена лініями
(рис. 6).
Розв’язання. З умов прикладу маємо: . Тому за формулою (8)
Зауважимо, що даний інтеграл можна обчислити і за формулою (7), якщо помітити, що , а
Тоді
Тобто даний інтеграл за адитивною властивістю дорівнює сумі двох інтегралів. Обчислимо кожний з них окремо:
Тоді , тобто отримали попередній результат, але обчислень довелося виконати більше, ніж за формулою (8).
Обчислення подвійного інтеграла у полярних координатах
У ряді випадків обчислення подвійного інтеграла спрощується, якщо перейти до полярних координат за формулами . Тоді
(9)
Формулу (9) одержуємо із означення подвійного інтеграла, якщо область D розбити на частини променями
і колами
. Тоді
(рис. 7).
Приклад 3. Обчислити , якщо область D обмежена колом радіуса R.
Розв’язання. Використаємо формулу (9) для обчислення даного подвійного інтеграла. маємо:
Щоб описати круг , необхідно, щоб r змінювався у межах
, а
— у межах
. Тому
Зауважимо, що в декартових координатах даний інтеграл не можна обчислити за формулами (7) або (8), оскільки первісна функції не виражається у скінченному вигляді.
Цікаво відзначити, що при даний інтеграл має границю
, а область D охоплює всю площину XOY. Запишемо інтеграл у вигляді
. Тоді отримаємо, що
. Цей результат можна одержати і іншими способами, наприклад за допомогою гама-функції Ейлера.
Потрійний інтеграл. Обчислення та застосування.
Потрійний інтеграл
До потрійного інтегралу приводить багато задач. Однією з них є задача про масу неоднорідного тіла G. Нехай у просторі задано неоднорідне тіло G (рис. 12) і
— його густина. Треба знайти масу тіла G.
У випадку однорідного тіла, коли , маса m тіла G, очевидно, дорівнює
, де V — об’єм тіла G.
Якщо тіло G неоднорідне, то його масу m природно визначити так. Сіткою поверхонь (T) розіб’ємо тіло G на частини …,
. Позначимо
об’єм частини
. У кожній частині
довільно візьмемо по одній точці
і будемо вважати, що густина у частині
скрізь однакова і дорівнює
. Таке припущення виправдане, якщо функція
неперервна в області G, а частини
достатньо малі. Позначимо
,
. Тоді
І за масу m тіла G природно взяти
Якщо ця границя існує.
Таким чином, за означенням,
(19)
Границю справа у рівності (19), якщо вона існує, називають потрійним інтегралом функції по області G і позначають символом
або
.
Проводячи аналогічні міркування для функції змінних x, y, z, приходимо до означення потрійного інтеграла функції
по області G:
(20)
З рівності (19) і означення потрійного інтеграла випливає формула для обчислення маси тіла G:
(21)
Яка ілюструє фізичний зміст потрійного інтеграла.
Потрійний інтеграл існує, якщо область G обмежена і кубовна (тобто має об’єм), а функція неперервна в області G.
Основні властивості потрійного інтеграла аналогічні відповідним властивостям подвійного інтеграла і тому їх тут не наводимо.
Обчислення потрійного інтеграла в декартових координатах
Теорема 3. Нехай тіло G обмежене знизу поверхнею , зверху – поверхнею
, де функції
і
неперервні в області D, яка є проекцією тіла G на площину XOY, збоку – циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі OZ, а напрямною є контур області D (рис. 13). Тоді, якщо функція
неперервна в області G, має місце формула
(22)
Доведення формули (22) аналогічне доведенню формули (7) для обчислення подвійного інтеграла. З формули (22) випливає, що обчислення потрійного інтеграла зводиться до обчислення подвійного інтеграла.
Приклад 7. Обчислити , якщо область G обмежена поверхнями
.
Розв’язання. Маємо: , область D обмежена лініями
(рис. 14).
Тому за формулою (22) маємо
.
![]() |
Обчислення потрійного інтеграла у циліндричних координатах
Обчислення потрійного інтеграла в ряді випадків спрощується, якщо від декартових координат перейти до циліндричних. Нагадаємо, що положення точки M У просторі можна задати не лише декартовими координатами X, Y, Z, а й числами R,
, Z, де R,
— полярні координати точки
, яка є ортогональною проекцією точки M На площину XOY Рис. 15). числа R,
, Z Називаються Циліндричними координатами точки M. При цьому
.
Циліндричні координати пов’язані з декартовими формулами
(23)
Потрійний інтеграл у циліндричних координатах має вигляд
(24)
Цю формулу отримуємо шляхом заміни через r,
, z за формулами (23). Елемент об’єму dV=dxdydz у циліндричних координатах має вигляд
, якщо область G розбивати на частини сіткою поверхонь:
(циліндричні поверхні з віссю OZ);
(площини, що проходить через вісь OZ, перпендикулярно до площини XOY);
(площини, перпендикулярні до осі OZ).
Приклад 8. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями та
.
Розв’язання. Дане тіло G обмежене зверху частиною сфери
, а знизу – частиною параболоїда
(рис. 7.16). для обчислення об’єму тіла G використаємо формулу
Розв’язуємо систему рівнянь
І знаходимо лінію перетину даних поверхонь. Це буде коло , яке лежить у площині
. Запишемо рівняння поверхонь у циліндричних координатах
і
. Проекцією тіла G на площину XOY є круг радіуса
з центром у початку координат. Тому за формулою (22) маємо:
Обчислення об’єму цього тіла у декартових координатах значно складніше.
Обчислення потрійного інтеграла у сферичних координатах
Обчислення потрійного інтеграла в ряді випадків також спрощується, якщо від декартових координат перейти до сферичних.
Нагадаємо, що положення точки M можна задати числами , які називаються сферичними координатами цієї точки (рис. 17).
При цьому ,
.
Сферичні координати пов’язані з декартовими формулами
. (25)
Потрійний інтеграл у сферичних координатах має вигляд
(26)
Дану формулу одержимо шляхом заміни x, y, z через за формулами (25), а елемент об’єму у сферичних координатах має вигляд
, якщо область G розбивати на частини сіткою поверхонь:
(концентричні сфери з центром у початку координат),
(площини, що проходять через вісь OZ перпендикулярно до площини XOY),
(кругові конічні поверхні з вершиною у початку координат і віссю OZ).
Приклад 9. Обчислити об’єм кулі радіуса R.
Розв’язання. За формулою (26) маємо:
Таким чином, обчислення об’єму кулі показано з використанням визначеного (приклад 8), подвійного (приклад 4) і потрійного (приклад 9) інтегралів.