Невизначений інтеграл

6.. Первісна та невизначений інтеграл. Властивості.

Основні методи інтегрування: інтегрування методом заміни змінної та частинами.

План:

1. Первісна та невизначений інтеграл.

2. Властивості.

3. Основні методи інтегрування: інтегрування методом заміни змінної.

4. Інтегрування частинами.

§1. первісна функція

У диференціальному численні функції однієї змінної за заданою функцією Невизначений інтеграл відшукувалась її похідна Невизначений інтеграл. Можна поставити обернену задачу: відомо, що функція Невизначений інтеграл є похідною деякої функції Невизначений інтеграл, тобто Невизначений інтеграл. Як знайти всі такі функції Невизначений інтеграл?

Наприклад, якщо Невизначений інтеграл, то за Невизначений інтеграл можна взяти кожну з функцій Невизначений інтеграл і, взагалі, Невизначений інтеграл, де С — довільна стала, оскільки Невизначений інтегралНевизначений інтеграл

Зауваження. Числові проміжки Невизначений інтеграл скрізь у подальшому позначаються спільним символом Невизначений інтеграл.

Означення. Нехай функція Невизначений інтеграл задана на проміжку Невизначений інтеграл. Тоді функція Невизначений інтеграл називається первісною функції Невизначений інтеграл, якщо Невизначений інтеграл диференційована на Невизначений інтеграл і Невизначений інтегралДля всіх Невизначений інтеграл.

 Наприклад, функції Невизначений інтеграл, де Невизначений інтеграл, а C — довільна стала, є первісними для функції Невизначений інтеграл, оскільки Невизначений інтеграл для всіх Невизначений інтеграл.

Теорема (про множину всіх первісних). Якщо функція Невизначений інтеграл є однією з первісних функції Невизначений інтеграл на проміжку Невизначений інтеграл, то будь-яка інша первісна функції Невизначений інтеграл на проміжку Невизначений інтеграл має вигляд Невизначений інтеграл, де C — довільне дійсне число.

Доведення. Оскільки Невизначений інтеграл — первісна, то Невизначений інтеграл для кожного Невизначений інтеграл. Якщо C — довільне дійсне число, то функція Невизначений інтеграл також є первісною для Невизначений інтеграл на проміжку Невизначений інтеграл, оскільки Невизначений інтеграл.

Покажемо, що інших первісних функції Невизначений інтеграл на проміжку Невизначений інтеграл не існує. Справді, нехай Невизначений інтеграл — довільна фіксована первісна функції Невизначений інтеграл на проміжку Невизначений інтеграл. Розглянемо допоміжну функцію Невизначений інтеграл. Для неї Невизначений інтегралНевизначений інтегралНевизначений інтеграл. Звідси за теоремою про умови сталості функції Невизначений інтеграл, де Невизначений інтеграл — деяке дійсне число, і Невизначений інтеграл.

Теорему доведено.

Теорема (про існування первісної). Для кожної неперервної на проміжку функції існують первісні на цьому проміжку.

Цю теорему приймаємо без доведення.

§2. Невизначений інтеграл

Означення. Множина всіх первісних функції Невизначений інтеграл на проміжку Невизначений інтеграл називається невизначеним інтегралом функції Невизначений інтеграл і позначається символом Невизначений інтеграл.

У цьому позначенні функція Невизначений інтеграл називається  підінтегральною функцією, а вираз Невизначений інтеграл — підінтегральним виразом. Функція Невизначений інтеграл при цьому називається  інтегрованою на проміжку  Невизначений інтеграл.

З теореми  про множину первісних і означення випливає, що

  Невизначений інтеграл,     (1)

Де Невизначений інтеграл — одна з первісних функції Невизначений інтеграл на проміжку Невизначений інтеграл, а  C — довільне дійсне число (довільна стала).

Знаходження невизначеного інтеграла від даної функції Невизначений інтеграл називається  інтегруванням цієї функції. Інтегрування є операцією, оберненою до диференціювання. Для того, щоб перевірити, чи правильно виконано інтегрування, достатньо продиференціювати первісну і одержати при цьому підінтегральну функцію. Якщо ж похідна від первісної відмінна від підінтегральної функції, то при інтегруванні допущено помилки.

Наприклад, Невизначений інтеграл, бо Невизначений інтеграл. Аналогічно Невизначений інтеграл, бо Невизначений інтеграл.

Теорема (основні властивості невизначеного інтеграла). Якщо функції Невизначений інтеграл інтегровані на проміжку Невизначений інтеграл, то на цьому проміжку справедливі рівності:

1º. Невизначений інтеграл

2º. Невизначений інтеграл

3º. Невизначений інтеграл

4º. Невизначений інтеграл

5º. Невизначений інтеграл

Доведення. Будемо вважати, що функції Невизначений інтеграл неперервні на проміжку Невизначений інтеграл, тому за теоремою про існування первісної всі інтеграли у рівностях 1º — 5º існують.

Перша властивість випливає з того, що Невизначений інтеграл, де Невизначений інтеграл, а Невизначений інтеграл

Невизначений інтеграл.

Друга властивість випливає з означення диференціала функції і першої властивості:

Невизначений інтеграл.

Ці дві властивості показують, що операції диференціювання та інтегрування функцій є взаємно оберненими.

Третя властивість випливає з того, що Невизначений інтеграл і  Невизначений інтеграл.

Четверта і п’ята властивості випливають з відповідних властивостей похідної:

Невизначений інтеграл.

Теорему доведено.

Таблиця основних невизначених інтегралів

З означення похідної, таблиці основних похідних та невизначеного інтеграла випливає таблиця основних невизначених інтегралів.

1º.

Невизначений інтеграл

99º.

Невизначений інтеграл

2º.

Невизначений інтеграл

110º.

Невизначений інтеграл

3º.

Невизначений інтеграл

111º.

Невизначений інтеграл

4º.

Невизначений інтеграл

112º.

Невизначений інтеграл

5º.

Невизначений інтеграл

113º.

Невизначений інтеграл

6º.

Невизначений інтеграл

114º.

Невизначений інтеграл

7º.

Невизначений інтеграл

115º.

Невизначений інтеграл

8º.

Невизначений інтеграл

116º.

Невизначений інтеграл

Ця таблиця разом з правилами інтегрування лежить в основі всіх методів інтегрування.

Приклад. Знайти Невизначений інтеграл.

Розв’язання.  Використаємо тотожність Невизначений інтеграл, властивість (5º) і табличні інтеграли 9 та 10. Одержимо:

Невизначений інтегралНевизначений інтеграл

Приклад. знайти Невизначений інтеграл.

Розв’язання. Виконаємо штучне перетворення підінтегральної функції:

Невизначений інтеграл

Тоді Невизначений інтеграл

Правильність інтегрування перевіряється диференціюваннямотриманого при інтегруванні результату. Продиференціюємо Невизначений інтеграл і одержимо:

    Невизначений інтеграл.

Одержали підінтегральну функцію. Отже, інтегрування виконано правильно.

У розглянутих прикладах довелося вдатися до штучних перетворень підінтегральної функції, щоб звести задані інтеграли до табличних.

§3. основні методи інтегрування функцій

Основними методами інтегрування функцій є інтегрування частинами і підстановкою (заміною змінної).

3.1. інтегрування частинами

Теорема ( про інтегрування частинами). Якщо функції Невизначений інтеграл і Невизначений інтеграл неперервні разом із своїми похідними на проміжку Невизначений інтеграл, то

  Невизначений інтеграл.       (2)

ДОведення. Формулу (2) називають формулою інтегрування частинами. У ряді випадків інтеграл справа Невизначений інтеграл спрощується або стає табличним. Формула (2) випливає з формули диференціювання добутку і властивостей невизначеного інтеграла. неперервність функцій Невизначений інтегралНевизначений інтеграл та їх похідних забезпечує існування обох інтегралів у формулі (2). Послідовно маємо:

Невизначений інтеграл,    Невизначений інтеграл.

Звідси, враховуючи, що Невизначений інтеграл, отримуємо формулу (2).

 Теорему доведено.

Приклад. Знайти Невизначений інтеграл, де Невизначений інтеграл.

Розв’язання. Позначимо Невизначений інтеграл, тоді Невизначений інтегралНевизначений інтеграл. Далі за формулою (2) маємо:

Невизначений інтегралНевизначений інтеграл.

В ряді випадків формулу (2) застосовують декілька разів. Обчислення інтеграла частинами рекомендуємо оформляти так, як показано у наступному прикладі.

Приклад. Знайти Невизначений інтеграл.

Розв’язання. Невизначений інтегралНевизначений інтеграл

До інтеграла Невизначений інтеграл знову застосуємо формулу (2). Будемо мати:       Невизначений інтеграл

Звідки  Невизначений інтеграл, де Невизначений інтеграл.

Зауважимо, що загальних рекомендацій щодо вибору Невизначений інтеграл і Невизначений інтеграл не існує. Вдале розбиття підінтегрального виразу на частини Невизначений інтеграл і Невизначений інтеграл досягається практикою інтегрування. Якщо вибране  розбиття ускладнює інтеграл справа у формулі (2), то треба спробувати інше розбиття або використати інші методи інтегрування. Так, якщо у останньому прикладі взяти Невизначений інтеграл, то Невизначений інтеграл і Невизначений інтеграл ускладнився в порівнянні з даним Невизначений інтеграл.

3.2. Інтегрування підстановкою

Теорема (про інтегрування підстановкою). Якщо функція Невизначений інтеграл неперервна на проміжку Невизначений інтеграл, а функція Невизначений інтеграл неперервна разом з похідною Невизначений інтеграл на проміжку Невизначений інтеграл, причому значення функції Невизначений інтеграл належать проміжку Невизначений інтеграл, то

Невизначений інтеграл.    (3)

Доведення. Формула (3) є  формулою інтегрування підстановкою. Неперервність функцій Невизначений інтеграл забезпечує існування обох інтегралів, а сама формула (3) випливає з формули диференціювання складної функції.

Справді, якщо Невизначений інтеграл, то функція Невизначений інтеграл буде первісною для функції Невизначений інтеграл на проміжку Невизначений інтеграл, оскільки

Невизначений інтеграл.

Звідси

Невизначений інтеграл.

Теорему доведено.

Інтеграл справа у формулі (3) може в результаті вдалої підстановки спроститися або стати табличним.

Приклад. Знайти Невизначений інтеграл, де Невизначений інтеграл.

Розв’язання. Позначимо Невизначений інтеграл, тоді Невизначений інтеграл

Невизначений інтеграл.

Формулу (3) використовують також, читаючи її справа наліво.

Приклад. Знайти Невизначений інтеграл, де Невизначений інтеграл.

Розв’язання. Позначимо Невизначений інтеграл, тоді

Невизначений інтегралНевизначений інтеграл

Звідси Невизначений інтеграл.

Отримали доведення формули 15 таблиці основних невизначених інтегралів.

Як і у випадку інтегрування частинами, вдалу підстановку підказує практика інтегрування.

Tagged with:
Posted in Вища математика 3к.1с

Перелік предметів:
  1. Інформаційні технологіі в галузі
  2. Інформаційні технологіі в системах якості стандартизаціісертифікаціі
  3. Історія української культури
  4. Бухоблік у ресторанному господарстві
  5. Діловодство
  6. Мікропроцесорні системи управління технологічними процесами
  7. Науково-практичні основи технологіі молока і молочних продуктів
  8. Науково-практичні основи технологіі м’яса і м’ясних продуктів
  9. Організація обслуговування у підприємствах ресторанного господарства
  10. Основи наукових досліджень та технічноі творчості
  11. Основи охорони праці
  12. Основи підприємницькоі діяльності та агробізнесу
  13. Політологія
  14. Технологічне обладнання для молочноі промисловості
  15. Технологічне обладнання для м’ясноі промисловості
  16. Технологічний семінар
  17. Технологія зберігання консервування та переробки молока
  18. Технологія зберігання консервування та переробки м’яса
  19. Технологія продукціі підприємств ресторанного господарства
  20. Технохімічний контроль
  21. Технохімічний контроль
  22. Управління якістю продукціі ресторанного господарства
  23. Вища математика 3к.1с
  24. Вступ до фаху 4к.2с.
  25. Загальні технології харчових виробництв
  26. Загальна технологія харчових виробництв 4к.2с.
  27. Мікробіологія молока і молочних продуктів 3к.1с
  28. Математичні моделі в розрахунках на еом
  29. Методи контролю харчових виробництв
  30. Основи фізіології та гігієни харчування 3к.1с
  31. Отримання доброякісного молока 3к.1с
  32. Прикладна механіка
  33. Прикладна механіка 4к.2с.
  34. Теоретичні основи технології харчових виробництв
  35. Технологія зберігання, консервування та переробки м’яса
  36. Фізика
  37. Харчові та дієтичні добавки
  38. Фізичне виховання 3к.1с

На русском

  1. Методы контроля пищевых производств
  2. Общая технология пищевых производств
  3. Теоретические основы технологий пищевых производств
  4. Технология хранения, консервирования и переработки мяса
LiveInternet

Интернет реклама УБС