Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

Модуль ІІІ. Інтегральне числення функцій однієї змінної (Невизначений інтеграл).

    Властивості невизначеного інтеграла. Дробово-раціональні функції: правильні дроби; елементарні дроби.

В курсі матики крім многочленів вивчаються і використовуються також дробово-раціональні функції, які називаються раціональними дробами.

Раціональним дробом називають вираз Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, де f(x) і g(x) — многочлени, причому Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

Ми  будемо розглядати раціональні дроби, у яких чисельник і знаменник є многочленами з дійсними коефіцієнтами. Множину таких дробів позначимо R(x).

Над раціональними дробами виконуються дії додавання і множення за такими правилами:

    Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл  (1)   

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл (2)

З рівностей (1), (2) випливає, що сума й добуток раціональних дробів з множини R(x) визначаються однозначно і належать до цієї множини. Крім того ці операції асоціативні, комутативні, пов’язані дистрибутивним законом, число 0 є нейтральним елементом по додаванню, а число 1 – по множенню.

Дріб Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл є протилежним до дробу Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, а дріб Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, якщо Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, є оберненим до дробу Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

Дріб Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл називається правильним, якщо ст. f < ст. g.

 Теорема.  Сума правильних раціональних дробів є правильним дробом, а будь-який неправильний дріб є сумою многочлена і правильного дробу.

Розглянемо приклади.

1.     Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

2. Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

Дріб  виду Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, де p(x) — многочлен, незвідний над полем дійсних чисел, і ст. f < ст. p,  k — довільне натуральне число, називається елементарним дробом.

Розглянемо приклади.

1. раціональний дріб Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл є елементарним, бо многочлен Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл незвідний і дріб правильний.

2. Раціональний дріб Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл не є елементарним, бо знаменник Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл не є незвідним многочленом.

3. Раціональний дріб Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл не є елементарним, бо він неправильний.

Однією з основних задач теорії раціональних дробів є задача подання дробу у вигляді суми деякого многочлена та елементарних дробів. Ця задача розв’язується позитивно на основі наступних теорем.

Теорема. якщо g1(x) і g2(x) – взаємно прості многочлени  і Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл — правильний раціональний дріб, то існують такі многочлени  f1(x)  і  f2(x), що

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл,

Причому дроби в правій частині цієї рівності правильні.

Наприклад, Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

Ця теорема узагальнюється на випадок довільного скінченного числа взаємно простих множників у знаменнику.

Теорема. будь-який правильний дріб виду Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, де p(x) — незвідний многочлен, а k — довільне натуральне число, можна подати як суму елементарних дробів:

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

З  використанням  попередніх  теорем  доводиться наступна теорема.

Теорема (основна теорема теорії раціональних дробів). Будь-який правильний дріб Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл можна подати як суму елементарних дробів:якщо Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, то

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.  (3)

З наведених теорем випливає, що будь-який неправильний раціональний дріб можна подати у вигляді суми многочлена та елементарних дробів.

Приклад. Подати раціональний дріб

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

Сумою многочлена  та елементарних дробів.

Розв’язання. Оскільки степінь чисельника дробу більше степеня знаменника, то заданий дріб неправильний. Поділимо чисельник на знаменник:

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

Отже, Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл. Розкладемо знаменник дробу на множники:

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

Запишемо дріб Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл у вигляді суми елементарних дробів з невизначеними коефіцієнтами чисельників Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

Тепер задача полягає в тому, щоб знайти невідомі коефіцієнти A, B і C.

Для цього зводимо праву частину до спільного знаменника та прирівнюємо чисельники лівої і правої частини. одержимо:

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

Звідси Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл. Виходячи з означення рівності многочленів, маємо:

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.  Звідси Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

Таким чином, Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

Означення подвійного інтеграла

Нехай у обмеженій квадровній області D задана функція Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл. Сіткою (T) кривих довільно розіб’ємо область D на квадровні частини Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл. Позначимо

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

У кожній частині  довільно візьмемо по одній точці Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл і складемо суму

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл     (1)

Яку називають інтегральною. Вона залежить від (T) — розбиття області D на частини Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл і від вибору точок Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

Означення. Число I називається границею інтегральних сум (1) при Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, якщо для довільного числа Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл існує таке число Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, що для довільного (T) — розбиття області D на частини Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІ довільного вибору точок Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл,  з умови Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл випливає нерівність Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

При цьому число I називають подвійним інтегралом функції Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл по області D і позначають символом Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл або Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

Таким чином, за означенням

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл       (2)

Якщо означення зіставити із задачею про масу неоднорідної пластинки, то отримаємо формулу

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл     (3)

Яка розкриває фізичний зміст подвійного інтеграла.

Якщо означення  зіставити із задачею про об’єм циліндричного тіла, то отримаємо формулу

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл     (4)

Яка розкриває геометричний зміст подвійного інтеграла.

Теорема. Якщо функція Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл неперервна в обмеженій квадровній області D, то подвійний інтеграл  існує.

Теорему приймаємо без доведення.

  Властивості подвійного інтеграла

Основні властивості подвійного інтеграла аналогічні властивостям визначеного інтеграла:

1º. Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

2º. Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

3º. Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

4º. Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

5º. Якщо Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл і області Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл і Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл не мають спільних внутрішніх точок (вони мають лише спільну межу), то Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл(адитивна властивість ).

6º. Якщо функція Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл неперервна в області D, то існує точка Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл така, що Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл(теорема про середнє значення).

В рівностях 3º, 4º, 5º вважають, що подвійні інтеграли функцій Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл по вказаних областях існують.

Доведемо, наприклад, властивість 3º. Маємо

    Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

При доведенні використані означення подвійного інтеграла і той факт, що сталий множник можна виносити за знак суми і за знак границі.

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралЗ властивості 3º при Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл отримуємо рівність 1º, а при Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл і Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл в (D) отримуємо рівність 2º.

Рівність 5º, виходячи з фізичного змісту подвійного інтеграла означає наступне: якщо пластинка D є об’єднанням пластинок Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл і Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл (рис.1), то, очевидно, маса пластинки D дорівнює сумі мас пластинок  Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл і  Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

Теорему про середнє значення приймаємо без доведення.

§2. Обчислення подвійного інтеграла

Обчислення подвійного інтеграла у декартових координатах

Теорема. Нехай функція Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл неперервна в області D, обмеженій лініями Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, причому функції Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл і Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл неперервні на відрізку [a; b]  і Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл для довільного Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл. Тоді має місце формула

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл     (5)

Формула (5) показує, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до обчислення двох визначених інтегралів. Інтеграл справа у формулі (5) називається повторним, причому інтеграл по змінній y  називається внутрішнім,  а по змінній x — зовнішнім.

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралАналітичне доведення формули (5) дещо громіздке, тому наведемо тут міркування, що випливають з фізичного змісту подвійного інтеграла. Будемо вважати, що функція Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл невід’ємна в області D  і  є  поверхневою  густиною пластинки  D.

Виділимо смугу області D між вертикалями x і Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл (рис.2). маса цієї смуги (вона заштрихована на рис.), очевидно, дорівнює Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл. Тоді маса всієї пластинки D буде дорівнювати Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, звідки за фізичним змістом подвійного інтеграла і випливає формула (5).

Приклад. Обчислити Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, якщо область D обмежена лініями Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл і Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл(рис.3).

Розв’язання. Задані лінії перетинаються в двох точках: O(0, 0) і A(1, 1). Тому за формулою (5) маємо:

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

У випадку області D, обмеженої лініями Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, причому функції Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл і Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл неперервні на відрізку [c; d] і Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл для довільного Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл (рис.4), має місце формула

    Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл   

Геометричні застосування подвійних інтегралів

Проілюструємо на конкретних прикладах застосування формул обчислення площ плоских фігур і об’ємів циліндричних тіл за допомогою подвійних інтегралів:

  Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл     (6)

Приклад. Обчислити об’єм кулі радіуса R.

Розв’язання. Запишемо рівняння сфери радіуса R з центром у початку координат: Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл. Тоді Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл буде рівнянням верхньої півсфери і за формулою (6) маємо

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл,

Де D — чверть круга радіуса R у першому квадранті.

Для обчислення подвійного інтеграла перейдемо до полярних координат. Тоді

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

  Одержимо

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл.

Це відома формула об’єму кулі радіуса R.

Відзначимо формулу для обчислення площі поверхні Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл (рис. 5). якщо функція Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл неперервна разом з частинними похідними Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл і Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл в області D, то площу S поверхні Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, яка є графіком функції Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл, можна обчислити за формулою

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл     (7)

Приклад. Обчислити площу поверхні сфери радіуса R.

Розв’язання. З рівняння верхньої півсфери Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл і формули (7) формально маємо:

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл  Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

Отримали відому формулу площі сфери радіуса R.

На останньому  кроці  наведених  вище  обчислень  фактично проігнорована необмеженість підінтегральної функції Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл на відрізку [0; R].

Взагалі так обчислювати визначений інтеграл не можна. Але в даному випадку цей інтеграл, розглядуваний як невласний – збіжний, і тому

Інтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтегралІнтегральне числення функцій однієі змінноі (невизначений та визначений інтеграл

Реферати

Tagged with: ,
Posted in Вища математика 3к.1с
Перелік предметів:
  1. Інформаційні технологіі в галузі
  2. Інформаційні технологіі в системах якості стандартизаціісертифікаціі
  3. Історія української культури
  4. Бухоблік у ресторанному господарстві
  5. Діловодство
  6. Мікропроцесорні системи управління технологічними процесами
  7. Науково-практичні основи технологіі молока і молочних продуктів
  8. Науково-практичні основи технологіі м’яса і м’ясних продуктів
  9. Організація обслуговування у підприємствах ресторанного господарства
  10. Основи наукових досліджень та технічноі творчості
  11. Основи охорони праці
  12. Основи підприємницькоі діяльності та агробізнесу
  13. Політологія
  14. Технологічне обладнання для молочноі промисловості
  15. Технологічне обладнання для м’ясноі промисловості
  16. Технологічний семінар
  17. Технологія зберігання консервування та переробки молока
  18. Технологія зберігання консервування та переробки м’яса
  19. Технологія продукціі підприємств ресторанного господарства
  20. Технохімічний контроль
  21. Технохімічний контроль
  22. Управління якістю продукціі ресторанного господарства
  23. Вища математика 3к.1с
  24. Вступ до фаху 4к.2с.
  25. Загальні технології харчових виробництв
  26. Загальна технологія харчових виробництв 4к.2с.
  27. Мікробіологія молока і молочних продуктів 3к.1с
  28. Математичні моделі в розрахунках на еом
  29. Методи контролю харчових виробництв
  30. Основи фізіології та гігієни харчування 3к.1с
  31. Отримання доброякісного молока 3к.1с
  32. Прикладна механіка
  33. Прикладна механіка 4к.2с.
  34. Теоретичні основи технології харчових виробництв
  35. Технологія зберігання, консервування та переробки м’яса
  36. Фізика
  37. Харчові та дієтичні добавки
  38. Фізичне виховання 3к.1с

На русском

  1. Методы контроля пищевых производств
  2. Общая технология пищевых производств
  3. Теоретические основы технологий пищевых производств
  4. Технология хранения, консервирования и переработки мяса
LiveInternet