Елементи лінійноі, векторноі алгебри

Модуль I.  Елементи лінійної, векторної алгебри та аналітичної гнометрії

· Матриці та операції над ними.  Визначник матриці.

— Обернена матриця.

Нехай A — квадратна матриця. Матриця A-1 називається оберненою до матриці A, якщо виконується умова

AA-1=A-1A=E.

Квадратна матриця A називається виродженою, якщо  Елементи лінійноі, векторноі алгебри і невиродженою,  якщо Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Теорема. Квадратна матриця A має обернену матрицю тоді і тільки тоді, коли вона невироджена. обернена матриця для даної невиродженої матриці єдина.

Доведення. Необхідність. Нехай для матриці A існує обернена матриця A-1. Тоді AA-1=E, Елементи лінійноі, векторноі алгебри. Отже, Елементи лінійноі, векторноі алгебри і матриця A  невироджена.

Достатність. Нехай Елементи лінійноі, векторноі алгебри і Елементи лінійноі, векторноі алгебри. Покажемо, що оберненою до матриці A буде матриця Елементи лінійноі, векторноі алгебри, де Елементи лінійноі, векторноі алгебри — алгебраїчне доповнення елемента Елементи лінійноі, векторноі алгебри визначника матриці A. Справді, за правилом множення матриць та властивостями 8°, 9° визначників маємо

Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Покажемо, що іншої матриці, яка була б оберненою до матриці A,  не існує. Нехай Елементи лінійноі, векторноі алгебри. Тоді Елементи лінійноі, векторноі алгебриЕлементи лінійноі, векторноі алгебри. Теорему доведено.

Приклад. Знайти A-1, якщо Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Розв’язання. Обчислимо визначник матриці A та алгебраїчні доповнення всіх її елементів. Маємо:

Елементи лінійноі, векторноі алгебри;

Елементи лінійноі, векторноі алгебри

Елементи лінійноі, векторноі алгебри

Записуємо обернену матрицю

Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Перейдемо до розгляду поняття рангу матриці. Нехай A=Am×n. Виділимо в матриці A будь-які k рядків і k  стовпців, де k не більше кожного з чисел m і n.

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором k — го порядку матриці A.

— Ранг матриці.

Означення. Рангом матриці A називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

Ранг матриці A позначається Елементи лінійноі, векторноі алгебри і має такі властивості:

1°.  Елементи лінійноі, векторноі алгебри

2°.  Елементи лінійноі, векторноі алгебри, тоді і тільки тоді, коли  A=О.

3°. для квадратної матриці n — го порядку Елементи лінійноі, векторноі алгебри тоді і тільки тоді, коли матриця A  невироджена.

Обчислення рангу матриці за означенням громіздке. Тому на практиці застосовують метод елементарних перетворень матриці. До таких перетворень відносять:

1) перестановку місцями будь-яких двох рядків або стовпців матриці;

2) множення будь-якого рядка або стовпця матриці на число, відмінне від нуля;

  3) додавання до елементів деякого рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на одне і те ж число.

Виявляється, що при елементарних перетвореннях ранг матриці не змінюється. Тому матрицю за допомогою цих перетворень зводять до такого вигляду, коли стає очевидним значення її рангу.

Приклад. Знайти ранг матриці Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Розв’язання. Виконуючи елементарні перетворення матриці, одержимо:

Елементи лінійноі, векторноі алгебри~Елементи лінійноі, векторноі алгебри~Елементи лінійноі, векторноі алгебри~Елементи лінійноі, векторноі алгебри

Пояснимо виконані перетворення. Знак “~” між матрицями вказує, що вони отримані одна з одної елементарними перетвореннями. На першому кроці помножили перший рядок відповідно на –3, –3, –5  і додали по черзі до другого, третього і четвертого рядка. На другому кроці перший стовпець помножили на 3, 3, 2, 5 і додали відповідно до інших стовпців, а потім перший стовпець помножили на (-1); після цього другий рядок помножили на –2 і додали до третього і четвертого. На останньому кроці другий стовпець помножили на Елементи лінійноі, векторноі алгебри, потім його помножили на 7, 3, 11 і додали до третього, четвертого і п’ятого стовпців та останній рядок помножили на Елементи лінійноі, векторноі алгебри. Одержана матриця має ранг 3. Отже, Елементи лінійноі, векторноі алгебри.  

· Сумісність та визначеність систем лінійних рівнянь.

· Розклад вектора за базисом. Лінійно залежні та лінійно незалежні системи векторів.

Аналітична  геометрії.

    Паралельність та перпендикулярність прямих і площин на площині і в просторі. Полярна сис координат.

Найважливішою після прямокутної декартової системи координат є полярна сис координат. Вона задається точкою O, яка називається полюсом і одиничним вектором Елементи лінійноі, векторноі алгебри, що виходить з цієї точки. Промінь, що виходить з точки O і співнапрямлений з вектором Елементи лінійноі, векторноі алгебри називається полярною віссю.

Елементи лінійноі, векторноі алгебриВізьмемо довільну точку M на площині і побудуємо вектор Елементи лінійноі, векторноі алгебри. Положення точки M повністю визначається кутом Елементи лінійноі, векторноі алгебри між полярною віссю та вектором Елементи лінійноі, векторноі алгебри і довжиною Елементи лінійноі, векторноі алгебри вектора Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Числа Елементи лінійноі, векторноі алгебриЕлементи лінійноі, векторноі алгебриНазиваються полярними координатами точки M.

При цьому Елементи лінійноі, векторноі алгебри називають полярним радіусом точки M, а  Елементи лінійноі, векторноі алгебри — полярним кутом цієї точки. Точка M  з полярними координатами Елементи лінійноі, векторноі алгебри і Елементи лінійноі, векторноі алгебри позначається так: Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Елементи лінійноі, векторноі алгебриЗауважимо, що початок полярної системи координат  (точка O) має полярний радіус, що дорівнює 0, а полярний кут для нього невизначений. В цілому ж, полярний радіус Елементи лінійноі, векторноі алгебри змінюється в межах Елементи лінійноі, векторноі алгебри, а полярний кут Елементи лінійноі, векторноі алгебри в межах Елементи лінійноі, векторноі алгебри. Іноді розглядають кути в межах Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Між декартовими і полярними координатами точки на площині існує певний зв’язок.

Нехай початок прямокутної системи координат збігається з полюсом, а вісь Ox — з полярною віссю Ox. Тоді  з геометричних міркувань маємо:

     Елементи лінійноі, векторноі алгебри.     (3)

Звідси

     Елементи лінійноі, векторноі алгебри.     (4)

Зауважимо, що кут Елементи лінійноі, векторноі алгебри має два значення, оскільки він змінюється від 0 до Елементи лінійноі, векторноі алгебри. Тому вибирають те значення Елементи лінійноі, векторноі алгебри, що задовольняє рівності (3).

Формули (3) називають формулами переходу від полярних до декартових координат, а формули (4) — формулами переходу від декартових координат до полярних.

Елементи лінійноі, векторноі алгебриПриклад. Побудувати точку A в полярній системі координат, якщо Елементи лінійноі, векторноі алгебри та знайти її декартові координати.

Розв’язання. Знаходимо декартові координати точки A:

Елементи лінійноі, векторноі алгебри

Отже, Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

    Фокальні властивості кривих другого порядку.

Ексцентриситетом Елементи лінійноі, векторноі алгебри еліпса називають відношення відстані між його фокусами до довжини його великої осі: Елементи лінійноі, векторноі алгебри.     (5)

При цьому Елементи лінійноі, векторноі алгебри, отже Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Через ексцентриситет еліпса можна виразити відношення його півосей:

Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Звідси, при збільшенні Елементи лінійноі, векторноі алгебри до одиниці, відношення півосей еліпса Елементи лінійноі, векторноі алгебри зменшується, отже еліпс став дедалі більш розтягнутим вздовж осі Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Директрисами еліпса називають дві прямі перпендикулярні до фокальної осі еліпса і розміщені симетрично відносно центра еліпса на відстані Елементи лінійноі, векторноі алгебри від нього.

Директриси еліпса  Елементи лінійноі, векторноі алгебри мають рівняння  Елементи лінійноі, векторноі алгебри. Ці прямі еліпс не перетинають, оскільки Елементи лінійноі, векторноі алгебри, а Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Відношення фокальних радіусів довільної точки еліпса до відстаней цієї точки від відповідних директрис є величина стала і дорівнює ексцентриситету еліпса, тобто

     Елементи лінійноі, векторноі алгебри.   

Ексцентриситетом гіперболи називають відношення відстані між її фокусами до довжини її дійсної вісі:      Елементи лінійноі, векторноі алгебри,     (6)

Де Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Через ексцентриситет гіперболи можна виразити відношення уявної півосі до дійсної:

Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Ексцентриситет гіперболи характеризує її форму. Справді, для гіперболи Елементи лінійноі, векторноі алгебри. Чим менше Елементи лінійноі, векторноі алгебри, тим менше відношення Елементи лінійноі, векторноі алгебри, тим менший кут, який утворює асимптота з віссю Елементи лінійноі, векторноі алгебри, тобто тим повільніше відхиляється гіпербола від осі Елементи лінійноі, векторноі алгебри.

Директрисами гіперболи називають прямі, які перпендикулярні до дійсної осі гіперболи і знаходяться на відстані Елементи лінійноі, векторноі алгебри від початку координат.

Рівняннями директрис гіперболи Елементи лінійноі, векторноі алгебри є Елементи лінійноі, векторноі алгебри, а гіперболи Елементи лінійноі, векторноі алгебри – Елементи лінійноі, векторноі алгебри. Директриси гіперболи не перетинаються.

Відношення довжини фокальних радіусів кожної точки гіперболи до відстаней цієї самої точки від відповідних директрис є величина стала і дорівнює ексцентриситету гіперболи, тобто

Елементи лінійноі, векторноі алгебри

Tagged with: ,
Posted in Вища математика 3к.1с
Перелік предметів:
  1. Інформаційні технологіі в галузі
  2. Інформаційні технологіі в системах якості стандартизаціісертифікаціі
  3. Історія української культури
  4. Бухоблік у ресторанному господарстві
  5. Діловодство
  6. Мікропроцесорні системи управління технологічними процесами
  7. Науково-практичні основи технологіі молока і молочних продуктів
  8. Науково-практичні основи технологіі м’яса і м’ясних продуктів
  9. Організація обслуговування у підприємствах ресторанного господарства
  10. Основи наукових досліджень та технічноі творчості
  11. Основи охорони праці
  12. Основи підприємницькоі діяльності та агробізнесу
  13. Політологія
  14. Технологічне обладнання для молочноі промисловості
  15. Технологічне обладнання для м’ясноі промисловості
  16. Технологічний семінар
  17. Технологія зберігання консервування та переробки молока
  18. Технологія зберігання консервування та переробки м’яса
  19. Технологія продукціі підприємств ресторанного господарства
  20. Технохімічний контроль
  21. Технохімічний контроль
  22. Управління якістю продукціі ресторанного господарства
  23. Вища математика 3к.1с
  24. Вступ до фаху 4к.2с.
  25. Загальні технології харчових виробництв
  26. Загальна технологія харчових виробництв 4к.2с.
  27. Мікробіологія молока і молочних продуктів 3к.1с
  28. Математичні моделі в розрахунках на еом
  29. Методи контролю харчових виробництв
  30. Основи фізіології та гігієни харчування 3к.1с
  31. Отримання доброякісного молока 3к.1с
  32. Прикладна механіка
  33. Прикладна механіка 4к.2с.
  34. Теоретичні основи технології харчових виробництв
  35. Технологія зберігання, консервування та переробки м’яса
  36. Фізика
  37. Харчові та дієтичні добавки
  38. Фізичне виховання 3к.1с

На русском

  1. Методы контроля пищевых производств
  2. Общая технология пищевых производств
  3. Теоретические основы технологий пищевых производств
  4. Технология хранения, консервирования и переработки мяса
LiveInternet