Диференціальне числення функцій однієі змінноі

Модуль II. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Диференціальне числення функцій багатьох змінних.

    Основні елементарні функції шкільного курсу матики, їх властивості і графіки.

Функцією називається відповідність, при якій кожному елементу x  із множини D відповідає деякий елемент y із множини E. Незалежна змінна x називається аргументом, а величина y — функцією. При цьому множину  D називають областю визначення функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі, а множину E –областю значень функціїДиференціальне числення функцій однієі змінноі.

Графіком функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі у вибраній системі координат називається множина всіх тих і тільки тих точок Диференціальне числення функцій однієі змінноі, для яких виконується рівність Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Загальні властивості функцій:

1.Якщо область визначення функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі симетрична відносно початку координат і Диференціальне числення функцій однієі змінноі виконується рівність Диференціальне числення функцій однієі змінноі, функція називається парною. Приклади парних функцій: Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Графіком парної функції є лінія, симетрична відносно осі ординат (осі Oy).

2.Якщо область визначення функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі симетрична відносно початку координат і Диференціальне числення функцій однієі змінноі виконується рівність Диференціальне числення функцій однієі змінноі, функція називається непарною. Приклади непарних функцій: Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Графіком парної функції є лінія, симетрична відносно початку координат.

3.Нехай задано числові функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі та Диференціальне числення функцій однієі змінноі такі, що Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Розглянемо функцію Диференціальне числення функцій однієі змінноі, яка будь-якому значенню Диференціальне числення функцій однієі змінноі ставить у відповідність число Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Така функція називається складеною і позначається: Диференціальне числення функцій однієі змінноі, де Диференціальне числення функцій однієі змінноі називають внутрішньою, Диференціальне числення функцій однієі змінноі — зовнішньою функцією.

Диференціальне числення функцій однієі змінноіДеякі види функцій:

1. Диференціальне числення функцій однієі змінноіПостійна та лінійна функції.

Постійною називається функція Диференціальне числення функцій однієі змінноі, де Диференціальне числення функцій однієі змінноі— константа, деяке дійсне число. Область визначення Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Функція парна. Множина значень складається з одного числа Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Графіком є горизонтальна пряма  (паралельна осі Оx), що проходить через точку Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Диференціальне числення функцій однієі змінноіФункція Диференціальне числення функцій однієі змінноі називається прямою пропорційністю. Область визначення Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Функція непарна. Графіком є пряма, що проходить через початок координат і утворює з додатним напрямком осі Ox кут Диференціальне числення функцій однієі змінноі: Диференціальне числення функцій однієі змінноі, k – кутовий коефіцієнт прямої. Якщо k>0,  то функція зростає на всій області визначення, якщо k<0,  то функція спадає на всій області визначення.

Функція Диференціальне числення функцій однієі змінноі називається лінійною. Графіком лінійної функції є деяка пряма. Для побудови цієї прямої в системі координат x Oy  достатньо побудувати дві її довільні точки. Область визначення Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Функція не є ні парною, ні непарною (такі функції називають несиметричними, або функціями загального виду).

2. Квадратична функція.

Диференціальне числення функцій однієі змінноіФункція виду  Диференціальне числення функцій однієі змінноі, де Диференціальне числення функцій однієі змінноі— фіксовані числа (константи), причому Диференціальне числення функцій однієі змінноі, називається квадратичною. Область визначення Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Графіком квадратичної функції є парабола. Абсциса вершини параболи знаходиться за формулою Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Якщо Диференціальне числення функцій однієі змінноі, то вітки параболи напрямлені вгору, якщо Диференціальне числення функцій однієі змінноі, то вітки параболи напрямлені вниз.

3. Степенева функція.

Степеневою називається функція виду  Диференціальне числення функцій однієі змінноі, де Диференціальне числення функцій однієі змінноі— фіксоване дійсне число, відмінне від нуля. Область визначення Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Якщо Диференціальне числення функцій однієі змінноі — натуральне парне число, то всі властивості степеневої функції співпадають з властивостями функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Якщо Диференціальне числення функцій однієі змінноі — натуральне непарне число, то всі властивості степеневої функції співпадають з властивостями функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Диференціальне числення функцій однієі змінноіНа практиці часто зустрічається степенева функція Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

  4.  Дробово-лінійна функція.

Диференціальне числення функцій однієі змінноіФункція Диференціальне числення функцій однієі змінноі, де Диференціальне числення функцій однієі змінноі називається оберненою пропорційністю. Графіком оберненої пропорційності є гіпербола. Область визначення Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Функція непарна.

Диференціальне числення функцій однієі змінноіЯкщо Диференціальне числення функцій однієі змінноі, то графік функції розміщений в I та III квадрантах (Диференціальне числення функцій однієі змінноі при Диференціальне числення функцій однієі змінноі, Диференціальне числення функцій однієі змінноі при Диференціальне числення функцій однієі змінноі); функція спадає на кожному з проміжків Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Якщо Диференціальне числення функцій однієі змінноі, то графік функції розміщений в II та IV квадрантах (Диференціальне числення функцій однієі змінноі при Диференціальне числення функцій однієі змінноі, Диференціальне числення функцій однієі змінноі при Диференціальне числення функцій однієі змінноі); функція зростає на кожному з проміжків Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Графік функції має дві асимптоти: вертикальну — вісь Oy  і горизонтальну  — вісь Ox.

Дробово-лінійною називається функція виду Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Її графіком є гіпербола, яка одержується з графіка оберненої пропорційності шляхом паралельного зсуву на вектор Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Ця гіпербола має вертикальну асимптоту Диференціальне числення функцій однієі змінноі та горизонтальну —Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Вершиною параболи є точка Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

    Границя функції на нескінченності. Односторонні границі функції. Нескінченні границі. Асимптоти кривої.

— Границя функції на нескінченності

Досліджуючи функції, які визначені на нескінченних проміжках, доводиться вивчати поведінку цих функцій при як завгодно великих за модулем значеннях аргументу x, тобто при Диференціальне числення функцій однієі змінноі або Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Пояснимо вище зазначене на конкретному прикладі.

Дослідимо поведінку функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі при необмеженому зростанні x. В цьому випадку кажуть, що Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Бачимо, що значення Диференціальне числення функцій однієі змінноі будуть залишатися додатними і необмежено зменшуватись, наближаючись до нуля. Іншими словами, при Диференціальне числення функцій однієі змінноі функція Диференціальне числення функцій однієі змінноі прямує до нуля, тобто Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Число нуль називають границею функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі на Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Означення. Нехай функція f(x) визначена на проміжку Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Число Диференціальне числення функцій однієі змінноі називається границею функції f(x) при Диференціальне числення функцій однієі змінноі, якщо для довільного дійсного числа Диференціальне числення функцій однієі змінноі існує таке дійсне число Диференціальне числення функцій однієі змінноі, що для всіх чисел Диференціальне числення функцій однієі змінноі виконується нерівність Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

За допомогою логічної символіки означення можна записати так:

Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Аналогічно, для функції y=f(x), визначеної на проміжку Диференціальне числення функцій однієі змінноі:

Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Геометрично означення фіксує той  факт, що графік функції y=f(x) для всіх достатньо великих x як завгодно близько підходить до прямої  y=A і знаходиться для чисел Диференціальне числення функцій однієі змінноі у смузі Диференціальне числення функцій однієі змінноі. У цьому випадку кажуть, що пряма y=A є горизонтальною асимптотою графіка функції y=f(x).

Диференціальне числення функцій однієі змінноіГрафік функції y=f(x) може мати і похилі асимптоти y=kx+b, Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Означення. Нехай функція y=f(x) визначена на проміжку Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Пряма y=kx+b називається асимптотою графіка функції y=f(x) при Диференціальне числення функцій однієі змінноі, якщо

Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Рівність в означенні означає, що віддаль точки Диференціальне числення функцій однієі змінноіВід прямої y=kx+b прямує до нуля при Диференціальне числення функцій однієі змінноі .

Диференціальне числення функцій однієі змінноіАналогічно визначається асимптота графіка функції y=f(x), визначеної на проміжку Диференціальне числення функцій однієі змінноі при Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Теорема (про похилі асимптоти кривої). Нехай функція y=f(x) визначена на проміжку Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Для того, щоб пряма y=kx+b була асимптотою графіка цієї функції, необхідно й достатньо існування границь

Диференціальне числення функцій однієі змінноі  та  Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Приклад. знайти похилі асимптоти графіка функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Розв’язання.  Задана функція визначена на проміжках Диференціальне числення функцій однієі змінноі та Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Обчислимо для неї вказані границі:

Диференціальне числення функцій однієі змінноі

Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Отже, пряма Диференціальне числення функцій однієі змінноі є асимптотою графіка функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі при Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

— Нескінченні границі

Диференціальне числення функцій однієі змінноіПриклад функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі показує, що дріб Диференціальне числення функцій однієі змінноі при наближенні x до нуля справа необмежено зростає, а при наближенні x до нуля зліва необмежено спадає. В цьому випадку кажуть, відповідно, що Диференціальне числення функцій однієі змінноі і Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Означення. Нехай функція y=f(x) визначена у деякому проколотому околі точки Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Кажуть, що Диференціальне числення функцій однієі змінноі, якщо для довільного числа Диференціальне числення функцій однієі змінноі існує таке число Диференціальне числення функцій однієі змінноі, що для всіх чисел Диференціальне числення функцій однієі змінноі виконується нерівність Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Геометрично це означає, що графік функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі при необмеженому наближенні х до Диференціальне числення функцій однієі змінноіСправа необмежено піднімається вгору.

Аналогічно визначаються

Диференціальне числення функцій однієі змінноі Диференціальне числення функцій однієі змінноіДиференціальне числення функцій однієі змінноі.

Пряма Диференціальне числення функцій однієі змінноі в цьому випадку називається вертикальною асимптотою графіка функції y=f(x).

Приклад. знайти вертикальні асимптоти графіка функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Розв’язання. Помічаємо, що при Диференціальне числення функцій однієі змінноі знаменник дробу прямує до 0, а чисельник до 4, причому

Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Тому пряма Диференціальне числення функцій однієі змінноі є вертикальною асимптотою графіка функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

    Диференціал функції, його геометричний зміст, інваріантність форми диференціала.
    Опуклість, угнутість кривої, точки перегину; достатня ознака опуклості, угнутості кривої.
    Диференційовані функції кількох змінних. Диференціювання складених функцій.

Неявні функції однієї і двох змінних

Одним із способів задання функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі є задання її рівнянням Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Розглянемо, наприклад, рівняння Диференціальне числення функцій однієі змінноі і з’ясуємо, які функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі його задовольняють.

Очевидно, функції Диференціальне числення функцій однієі змінноіДиференціальне числення функцій однієі змінноіДиференціальне числення функцій однієі змінноіДиференціальне числення функцій однієі змінноі задовольняють дане рівняння. Їх називають неявними функціями, визначеними рівнянням Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Крім цих функцій існує безліч інших функцій, які задовольняють це рівняння. Наприклад, якщо зафіксувати непорожню множину E дійсних чисел, відмінну від R, то функція

Диференціальне числення функцій однієі змінноі також задовольняє рівняння Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Рівняння Диференціальне числення функцій однієі змінноі, очевидно, не задовольняє жодна дійсна функція Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Рівняння Диференціальне числення функцій однієі змінноі задовольняє на множині R дійсних чисел єдина функція Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Означення. Функція Диференціальне числення функцій однієі змінноі, яка перетворює рівняння Диференціальне числення функцій однієі змінноі у тотожність, називається неявною функцією, визначеною цим рівнянням.

Зауваження. Термін “неявна функція” характеризує не природу функції, а аналітичний спосіб її задання.

Наступна теорема дає достатні умови існування, неперервності і диференційовності неявної функції.

Теорема. Нехай задано рівняння Диференціальне числення функцій однієі змінноі, де функція Диференціальне числення функцій однієі змінноі неперервна разом із частинними похідними Диференціальне числення функцій однієі змінноі і Диференціальне числення функцій однієі змінноі у деякому околі точки Диференціальне числення функцій однієі змінноі, причому Диференціальне числення функцій однієі змінноі, а Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Тоді це рівняння визначає у деякому околі точки Диференціальне числення функцій однієі змінноі єдину неперервну разом із похідною функцію Диференціальне числення функцій однієі змінноі таку, що Диференціальне числення функцій однієі змінноі, а

  Диференціальне числення функцій однієі змінноі, де Диференціальне числення функцій однієі змінноі.  (1)

Теорему приймаємо без доведення. Геометрично вона означає, що поверхня, задана рівнянням Диференціальне числення функцій однієі змінноі, у деякому околі точки Диференціальне числення функцій однієі змінноі, перетинає координатну площину Диференціальне числення функцій однієі змінноі (тобто площину XOY) по деякій кривій, яка і є графіком неявної функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

З рівняння дотичної до кривої Диференціальне числення функцій однієі змінноі у точці Диференціальне числення функцій однієі змінноі, де Диференціальне числення функцій однієі змінноі,

Диференціальне числення функцій однієі змінноі

І формули (1) випливає рівняння дотичної в точці Диференціальне числення функцій однієі змінноі до кривої, заданої рівнянням Диференціальне числення функцій однієі змінноі

Диференціальне числення функцій однієі змінноі,  (2)

Яке записують в симетричному вигляді так:

Диференціальне числення функцій однієі змінноі  (3)

Рівняння нормалі в точці Диференціальне числення функцій однієі змінноі до кривої, заданої рівнянням Диференціальне числення функцій однієі змінноі, має вигляд

Диференціальне числення функцій однієі змінноі  (4)

Одним із способів задання функції двох змінних Диференціальне числення функцій однієі змінноі є задання її рівнянням Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Наприклад, рівняння Диференціальне числення функцій однієі змінноі задає в крузі Диференціальне числення функцій однієі змінноі функцію Диференціальне числення функцій однієі змінноі, а рівняння Диференціальне числення функцій однієі змінноі не задає ніякої дійсної функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Існує теорема, аналогічна теоремі 6.3, яка дає достатні умови існування, неперервності і диференційовності неявної функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі, визначеної рівнянням Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Диференціальне числення функцій однієі змінноіРівняння Диференціальне числення функцій однієі змінноі при певних умовах задає деяку поверхню Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Будемо вважати, що функція Диференціальне числення функцій однієі змінноі диференційовна в деякому околі точки Диференціальне числення функцій однієі змінноі, яка лежить на поверхні Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Проведемо через точку Диференціальне числення функцій однієі змінноі на поверхні Диференціальне числення функцій однієі змінноі довільну криву L і дотичну до неї у точці Диференціальне числення функцій однієі змінноі (рис).

 Нехай параметричні рівняння кривої L: Диференціальне числення функцій однієі змінноіДиференціальне числення функцій однієі змінноіДиференціальне числення функцій однієі змінноіДиференціальне числення функцій однієі змінноі, а координати точки Диференціальне числення функцій однієі змінноі: Диференціальне числення функцій однієі змінноіДиференціальне числення функцій однієі змінноіДиференціальне числення функцій однієі змінноіДиференціальне числення функцій однієі змінноі.

Диференціальне числення функцій однієі змінноі, оскільки крива L лежить на поверхні Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Тому за правилом диференціювання складної функції маємо

    Диференціальне числення функцій однієі змінноі  (5)

Рівність (5) є скалярним добутком векторів Диференціальне числення функцій однієі змінноі і Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Але вектор Диференціальне числення функцій однієі змінноі — це вектор дотичної до кривої L у точці Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Тому з рівності (5) випливає, що дотична до кожної кривої на поверхні Диференціальне числення функцій однієі змінноі, яка проходить через точку Диференціальне числення функцій однієі змінноі, перпендикулярна до вектора Диференціальне числення функцій однієі змінноі, тобто всі такі дотичні лежать в одній площині, яка проходить через точку Диференціальне числення функцій однієі змінноі і перпендикулярна до вектора Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Цю площину називають дотичною до поверхні Диференціальне числення функцій однієі змінноі у точці Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Її рівняння має вигляд

    Диференціальне числення функцій однієі змінноі  (6)

Зокрема, якщо поверхня Диференціальне числення функцій однієі змінноі задана рівнянням Диференціальне числення функцій однієі змінноі, то з рівняння (6) одержимо рівняння дотичної площини до поверхні Диференціальне числення функцій однієі змінноі у вигляді

  Диференціальне числення функцій однієі змінноі   (7)

З рівняння (7) випливає геометричний зміст диференціала функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Права частина рівності (7) є диференціалом функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі обчисленим у точці Диференціальне числення функцій однієі змінноі. У лівій частині рівності маємо різницю Диференціальне числення функцій однієі змінноі, що є приростом аплікати Диференціальне числення функцій однієі змінноі дотичної площини до поверхні Диференціальне числення функцій однієі змінноі у точці Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Таким чином, диференціал функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі у точці Диференціальне числення функцій однієі змінноі дорівнює приросту аплікати Диференціальне числення функцій однієі змінноі дотичної площини до поверхні, заданої рівнянням Диференціальне числення функцій однієі змінноі у точці Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

З рівнянь (6) і (7) отримуємо відповідні рівняння нормалі до поверхні:

Диференціальне числення функцій однієі змінноі  (8)

Диференціальне числення функцій однієі змінноі  (9)

Формула Тейлора для функції двох змінних

Як і для функції однієї змінної, для функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі багатьох змінних має місце формула Тейлора, яка в диференціальній формі записується так:

Диференціальне числення функцій однієі змінноі  (10)

Де запис Диференціальне числення функцій однієі змінноі означає приріст функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі у точці Диференціальне числення функцій однієі змінноі, тобто різницю Диференціальне числення функцій однієі змінноі, а точка Диференціальне числення функцій однієі змінноі лежить на відрізку Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Зокрема для функції Диференціальне числення функцій однієі змінноі двох змінних, яка має у деякому околі точки Диференціальне числення функцій однієі змінноі неперервні частинні похідні до Диференціальне числення функцій однієі змінноі — го порядку включно, приріст

Диференціальне числення функцій однієі змінноі  (11)

Де точка Диференціальне числення функцій однієі змінноі лежить між точками Диференціальне числення функцій однієі змінноі і Диференціальне числення функцій однієі змінноі на відрізку Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Формулу (11) приймаємо без доведення.

При Диференціальне числення функцій однієі змінноі рівність (11) приймає вигляд

Диференціальне числення функцій однієі змінноі  (12)

Звідки

Диференціальне числення функцій однієі змінноі,  (13)

Де максимум береться в околі точки Диференціальне числення функцій однієі змінноі радіуса Диференціальне числення функцій однієі змінноі. Нерівність (13) дає оцінку точності наближеної формули Диференціальне числення функцій однієі змінноі.

Формула Тейлора (11) використовується при встановленні достатніх умов екстремуму функції двох змінних. Зауважимо, що через частинні похідні ця формула має більш громіздкий запис:

Диференціальне числення функцій однієі змінноі  (14)

Tagged with: ,
Posted in Вища математика 3к.1с

Перелік предметів:
  1. Інформаційні технологіі в галузі
  2. Інформаційні технологіі в системах якості стандартизаціісертифікаціі
  3. Історія української культури
  4. Бухоблік у ресторанному господарстві
  5. Діловодство
  6. Мікропроцесорні системи управління технологічними процесами
  7. Науково-практичні основи технологіі молока і молочних продуктів
  8. Науково-практичні основи технологіі м’яса і м’ясних продуктів
  9. Організація обслуговування у підприємствах ресторанного господарства
  10. Основи наукових досліджень та технічноі творчості
  11. Основи охорони праці
  12. Основи підприємницькоі діяльності та агробізнесу
  13. Політологія
  14. Технологічне обладнання для молочноі промисловості
  15. Технологічне обладнання для м’ясноі промисловості
  16. Технологічний семінар
  17. Технологія зберігання консервування та переробки молока
  18. Технологія зберігання консервування та переробки м’яса
  19. Технологія продукціі підприємств ресторанного господарства
  20. Технохімічний контроль
  21. Технохімічний контроль
  22. Управління якістю продукціі ресторанного господарства
  23. Вища математика 3к.1с
  24. Вступ до фаху 4к.2с.
  25. Загальні технології харчових виробництв
  26. Загальна технологія харчових виробництв 4к.2с.
  27. Мікробіологія молока і молочних продуктів 3к.1с
  28. Математичні моделі в розрахунках на еом
  29. Методи контролю харчових виробництв
  30. Основи фізіології та гігієни харчування 3к.1с
  31. Отримання доброякісного молока 3к.1с
  32. Прикладна механіка
  33. Прикладна механіка 4к.2с.
  34. Теоретичні основи технології харчових виробництв
  35. Технологія зберігання, консервування та переробки м’яса
  36. Фізика
  37. Харчові та дієтичні добавки
  38. Фізичне виховання 3к.1с

На русском

  1. Методы контроля пищевых производств
  2. Общая технология пищевых производств
  3. Теоретические основы технологий пищевых производств
  4. Технология хранения, консервирования и переработки мяса
LiveInternet

Интернет реклама УБС